2009-四川卷文-10 单-线性规划利润

本题导读

考查线性规划应用。可行域顶点中两约束交点 $(3,4)$ 处 $z=15+12=27$ 最大，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 $A$ 原料 $3$ 吨、$B$ 原料 $2$ 吨；生产每吨乙产品要用 $A$ 原料 $1$ 吨、$B$ 原料 $3$ 吨.销售每吨甲产品可获得利润 $5$ 万元，每吨乙产品可获得利润 $3$ 万元，该企业在一个生产周期内消耗 $A$ 原料不超过 $13$ 吨，$B$ 原料不超过 $18$ 吨，那么该企业可获得最大利润是 ()

A. $12$ 万元　　　B. $20$ 万元　　　C. $25$ 万元　　　D. $27$ 万元

🔍【思路分析】

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1. 设生产甲 $x$ 吨、乙 $y$ 吨：$3x+y⩽13$，$2x+3y⩽18$，$x,y⩾0$。
2. 目标函数 $z=5x+3y$。
3. 顶点：$(0,0)\to 0$；$\left(\frac{13}{3},0\right)\to \frac{65}{3}$；$(0,6)\to 18$。
4. 两约束交点：$x=3,y=4$，$z=15+12=27$ 最大。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设该企业生产甲产品 $x$ 吨、乙产品 $y$ 吨，则约束条件为 $3x+y⩽13,2x+3y⩽18,x⩾0,y⩾0,$ 利润 $z=5x+3y$。 可行域为多边形，比较各顶点处的函数值： $(0,0)$ 处 $z=0$；$\left(\frac{13}{3},0\right)$ 处 $z=\frac{65}{3}$；$(0,6)$ 处 $z=18$； 两约束边界联立 $3x+y=13$，$2x+3y=18$，解得 $x=3$，$y=4$，此时 $z=15+12=27$。 故最大利润为 $27$ 万元，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的实际应用

核心方法：设元列约束，目标函数在可行域顶点取最值

避坑指南：两约束交点 $(3,4)$ 须验满足两个约束（等号成立即在内）；比较四个顶点别漏轴上的点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“不超过”对应 $⩽$，产量非负 $x,y⩾0$ 别忘。

结论推广：目标线 $5x+3y=z$ 斜率 $-\frac{5}{3}$ 介于两约束边界斜率之间，最值在交点取得。

方法推广：$\frac{65}{3}\approx 21.7<27$，比较时别被 $\frac{13}{3}$ 处的值迷惑。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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