2007-四川卷文-13 填-二项展开式常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项，以及常数项（指定项）。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^n$ 的展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 $n$ 的值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-2k}$。
2. 第 5 项对应 $k=4$：$T_5=(-1{)}^4{\mathrm{C}}_n^4{x}^{n-8}$。
3. 常数项要求 $x$ 的次数为零：$n-8=0$，$n=8$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^n$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-2k}$． 第 5 项对应 $k=4$，即 $T_5=(-1{)}^4{\mathrm{C}}_n^4{x}^{n-8}$． 其为常数项当且仅当 $x$ 的次数为零：$n-8=0$，故 $n=8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式常数项

核心方法：$T_{k+1}=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_n^k{x}^{n-2k}$，第 5 项即 $k=4$，$n-8=0$，$n=8$

避坑指南：第 5 项对应 $k=4$ 而非 $k=5$；$x$ 与 $-\frac{1}{x}$ 的次数相加为 0，$x$ 的次数是 $n-2k$ 别写成 $n-k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式指定项是四川卷填空常客，2010、2011 年续考同型

结论推广：推广：第 $m$ 项为常数项时，$n-2(m-1)=0$ 直接给出 $n$

方法推广：二项式问题先写通项，“第 $m$ 项”对应 $k=m-1$，次数条件列方程即解

🔗【关联脉络】

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