2007-四川卷文-14 填-正三棱柱线面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及空间向量求线面角。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$，底面三角形的边长为 1，则 $B{C}_1$ 与侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$C_1(1,0,\sqrt{2})$。
2. $\overrightarrow{B{C}_1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)$，$|\overrightarrow{B{C}_1}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+2}=\sqrt{3}$。
3. 侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 的方程为 $y=0$，其法向量可取 $\vec{n}=(0,1,0)$。
4. $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B{C}_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_1}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系：$A=(0,0,0)$，$C=(1,0,0)$，$B=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$C_1=(1,0,\sqrt{2})$． 则 $\overrightarrow{B{C}_1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)$，$|\overrightarrow{B{C}_1}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+2}=\sqrt{3}$． 侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 的方程为 $y=0$，其法向量可取 $\vec{n}=(0,1,0)$． 设直线 $B{C}_1$ 与平面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B{C}_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_1}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$． 由 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$，得 $\theta =\frac{\pi }{6}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱线面角

核心方法：$|\overrightarrow{B{C}_1}|=\sqrt{3}$，$B$ 到侧面距离 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{6}$

避坑指南：线面角用 $\sin$ 不是 $\cos$：$\sin \theta =\frac{d}{|B{C}_1|}$；正三棱柱底面高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，别代成边长 1

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱柱中的线面角承接全国卷立几填空传统，与四川理 14 题同源

结论推广：推广：侧棱长与底面边长按比例变化时，线面角的正切随比例单调变化

方法推广：柱体中的线面角优先建系用向量：$\sin \theta =\frac{|投影分量|}{|向量|}$，底面正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 是关键数据

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法
• 2012-四川卷文-14 填-异面直线所成角
• 2015-四川卷文-14 填-三视图体积
• 2013-四川卷理-19 解-线面平行