2013-四川卷理-19 解-线面平行

本题导读

本题考查线面位置关系。核心在于几何构造法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，$AB=AC=2A{A}_1$，$\angle BAC=120^{\circ }$，$D,D_1$ 分别是线段 $BC,B_1{C}_1$ 的中点，$P$ 是线段 $AD$ 的中点.

(1)在平面 $ABC$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1}BC$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$；

(2)设(1)中的直线 $l$ 交 $AB$ 于点 $M$，交 $AC$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1}M-N$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（作图与证明）：
   • 作图：根据线面平行的判定定理，若要在平面 $ABC$ 内作直线 $l\parallel$ 平面 $A_{1}BC$，由于 $BC$ 是平面 $A_{1}BC$ 内的一条线，只需作 $l\parallel BC$ 即可。
   • 垂直证明：要证 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，只需证 $l$ 垂直于该平面内的两条相交直线。利用等腰三角形 $ABC$ 中中线 $AD\perp BC$，以及侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面导出 $A{A}_1\perp l$。
2. 第二问（二面角求解）：
   • 建立坐标系：由于 $A{A}_1\perp$ 底面且 $AD\perp BC$，可以以 $D$ 为原点，或以 $A_1$ 为原点建立空间直角坐标系。
   • 求法向量：分别求出平面 $A{A}_{1}M$（即平面 $A{A}_{1}D$）和平面 $A_{1}MN$ 的法向量。
   • 计算余弦值：利用向量夹角公式计算，注意二面角是锐角还是钝角。

✅【答案】

点击查看答案

作法；理由；证明；$\frac{\sqrt{15}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

作法：在平面 $ABC$ 内，过点 $P$ 作直线 $l\parallel BC$。 理由：因为 $l\parallel BC$，$BC\subset$ 平面 $A_{1}BC$，$l\not\subset$ 平面 $A_{1}BC$，所以 $l\parallel$ 平面 $A_{1}BC$。 证明： 因为 $AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 中点，所以 $BC\perp AD$。 又 $l\parallel BC$，所以 $l\perp AD$。 因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，$l\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A{A}_1\perp l$。 又 $AD\cap A{A}_1=A$，且 $AD,A{A}_1\subset$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$。 所以直线 $l\perp$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$。

（Ⅱ）解： 设 $A{A}_1=1$，则 $AB=AC=2$。 在 $△ABC$ 中，$\angle BAC=120^{\circ }$，$D$ 为 $BC$ 中点，所以 $\angle BAD=60^{\circ }$。 在 $Rt△ABD$ 中，$AD=AB\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$。 因为 $P$ 为 $AD$ 中点，且 $MN\parallel BC$ 过 $P$，所以 $M,N$ 分别为 $AB,AC$ 的中点。

以 $A_1$ 为原点，过 $A_1$ 作平行于 $BC$ 的直线为 $x$ 轴，$A_1{D}_1$ 为 $y$ 轴，$A_{1}A$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 则 $A_1(0,0,0),A(0,0,1)$。 因为 $AD=1$，$M$ 为 $AB$ 中点，在底面投影坐标中，$M(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1)$。 $\overrightarrow{A_{1}A}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{A_{1}M}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1)$。 设平面 $A{A}_{1}M$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$。 则 ${\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A_{1}A}=z_1=0$；${\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A_{1}M}=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_1+\frac{1}{2}{y}_1=0$。 取 ${\vec{n}}_1=(1,-\sqrt{3},0)$。

再求平面 $A_{1}MN$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。 $M(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1),N(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},1)$，则 $\overrightarrow{NM}=(\sqrt{3},0,0)$。 ${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{NM}=\sqrt{3}{x}_2=0⟹x_2=0$。 ${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}M}=\frac{1}{2}{y}_2+z_2=0$。 取 ${\vec{n}}_2=(0,2,-1)$。

设二面角 $A-A_{1}M-N$ 的平面角为 $\theta$： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|0-2\sqrt{3}+0|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{4+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ 故二面角 $A-A_{1}M-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理（两条相交直线）；法向量求二面角。

核心方法：“空间坐标系建模”。在存在明显垂直关系（如侧棱垂直底面）的几何体中，向量法往往比几何法更具普适性。

避坑指南：- 建立坐标系时要标明轴的正方向及原点。 - 求投影和中点坐标时，注意 $120^{\circ }$ 角的处理，$AD$ 并不是直接等于 $AB$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等腰三角形性质、勾股定理、向量点积。

结论推广：二面角的余弦值等于法向量夹角余弦值的绝对值（锐角情况）。

方法推广：求点到平面的距离也可以利用法向量：$d=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行