2007-四川卷理-01 单-虚数单位周期性

本题导读

本题考查复数的除法运算与虚数单位高次幂的化简。通过分子分母同乘共轭复数以及利用 $\text{i}$ 的周期性即可直接求值。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 复数 $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}+{\text{i}}^3$ 的值是()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. -1　　　　　　　D. $\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 第一项分母实数化：分子与分母同乘以 $1+\text{i}$ 进行展开化简。

2. 第二项幂次降阶：利用 ${\text{i}}^2=-1$ 化简 ${\text{i}}^3$，最后求和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先化简复数的第一项，分子与分母同乘以 $1+\text{i}$ 进行分母实数化： $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{(1+\text{i}{)}^2}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{1+2\text{i}+{\text{i}}^2}{1-{\text{i}}^2}$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入得： $\frac{1+2\text{i}-1}{1-(-1)}=\frac{2\text{i}}{2}=\text{i}$ 再化简第二项，根据虚数单位 $\text{i}$ 的周期性： ${\text{i}}^3={\text{i}}^2\cdot \text{i}=-1\cdot \text{i}=-\text{i}$ 将两项相加得： $\text{i}+(-\text{i})=0$ 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算法则，虚数单位 $\text{i}$ 的常用低阶幂次特征。

2. 核心方法：共轭因式相乘法。

3. 避坑指南：牢记 ${\text{i}}^2=-1$，分母平方差展开时注意负负得正，避免符号疏漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中复数运算的基本练习题，主要考查对单位虚数核心代数特征的基本运算功底。

5. 结论推广：形如 $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$ 以及 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 是高考高频出现的常用代数常数特征，可作为结论直接记忆以提升解题速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-01 单-复数运算