2020-全国卷II文-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及虚数单位的周期性。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）$(1-\mathrm{i}{)}^4=$ ( )

A. $-4$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $-4\mathrm{i}$　　　　　　　D. $4\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 利用平方公式先将 $(1-\mathrm{i}{)}^2$ 展开化简。
2. 将结果平方即可得到 $(1-\mathrm{i}{)}^4$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}$. 因此： $(1-\mathrm{i}{)}^4={\left[(1-\mathrm{i}{)}^2\right]}^2=(-2\mathrm{i}{)}^2=4{\mathrm{i}}^2=-4$. 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘方。
2. 核心方法：利用 $(1-\mathrm{i}{)}^2=-2\mathrm{i}$ 整体代换简化计算。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 时的符号变动。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考复数常规计算题。
2. 结论推广：形如 $(1\pm \mathrm{i}{)}^n$ 的复数乘方通常化为平方形式后计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算
• 2007-四川卷理-01 单-虚数单位周期性
• 2007-山东卷理-01 单-三角方程求解