2007-大纲卷I文-02 单-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数值的符号。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） $\alpha$ 是第四象限角，$\cos \alpha =\frac{12}{13}$，则 $\sin \alpha =$ ()

A. $\frac{5}{13}$　　　　　　B. $-\frac{5}{13}$　　　　　　C. $\frac{5}{12}$　　　　　　D. $-\frac{5}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第四象限角的正弦为负。
2. 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 解出 $|\sin \alpha |=\frac{5}{13}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第四象限角，所以 $\sin \alpha <0$． 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得 $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数求值

核心方法：平方关系求值 + 象限定符号

避坑指南：第四象限角 $\sin \alpha <0$，开方取负号是本题唯一的陷阱；别把 $\frac{5}{12}$（正切相关）当答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角平方关系与象限符号是大纲卷小题的常青考点。

结论推广：$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$，符号由象限决定：一、二象限正，三、四象限负。

方法推广：先定符号再开方，两步走不跳步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值