2007-大纲卷I文-05 单-分步组合计数

本题导读

本题考查排列与组合的应用，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 甲，乙，丙 $3$ 位同学选修课程．从 $4$ 门课程中，甲选修 $2$ 门，乙，丙各选修 $3$ 门，则不同的选修方案共有 ()

A. $36$ 种　　　　B. $48$ 种　　　　C. $96$ 种　　　　D. $192$ 种

🔍【思路分析】

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1. 甲的选法 ${\mathrm{C}}_4^2$ 种，乙、丙各有 ${\mathrm{C}}_4^3$ 种。
2. 三人选课相互独立，分步相乘。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

甲从 $4$ 门中选 $2$ 门，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种选法；乙、丙各自从 $4$ 门中选 $3$ 门，各有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种选法． 三人的选课相互独立，由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有 ${\mathrm{C}}_4^2\cdot {\mathrm{C}}_4^3\cdot {\mathrm{C}}_4^3=6\times 4\times 4=96\text{种},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步组合计数

核心方法：分步乘法计数原理 + 组合数

避坑指南：每人选课相互独立，用乘法不用加法；“甲选 2 门、乙丙各选 3 门”各自独立计数后再相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数在实际情境（选课、抽样、派代表）中的应用是大纲卷高频小题。

结论推广：${\mathrm{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，${\mathrm{C}}_4^2=6$、${\mathrm{C}}_4^3=4$ 属于必背数值。

方法推广：分清”分类（加法）“与”分步（乘法）“：独立完成的多步过程一律相乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-12 单-方格计数
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用