2008-大纲卷I文-12 单-方格计数

本题导读

考查排列组合。第一行 $3!=6$ 种，第一列剩余两格 $2$ 种，其余格子唯一确定，共 $12$ 种，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 将 $1$，$2$，$3$ 填入 $3\times 3$ 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有()

A. $6$ 种　　　　　B. $12$ 种　　　　　C. $24$ 种　　　　　D. $48$ 种

🔍【思路分析】

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1. 第一行：$1,2,3$ 全排列，$3!=6$ 种。
2. 第一列（去掉已填的第一格）：剩下两格各与所在行已填数字不同，有 $2$ 种方案。
3. 第一行与第一列确定后，右下 $2\times 2$ 区域每格由行、列约束唯一确定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：填第一行，$1,2,3$ 任意排列，共 $3!=6$ 种. 第二步：填第一列的剩下两格（第二行第一列、第三行第一列），每个数字不能与该行已填数字重复、也不能与第一列已填数字重复，满足条件的方案共 $2$ 种. 第三步：中心 $2\times 2$ 区域中，每个格子的数字由”所在行已有两个数字、所在列已有两个数字”共同约束，各剩唯一选择，方案唯一确定. 故不同填法共 $3!\times 2=12(种).$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方格填数的分步计数

核心方法：第一行 $3!$ 种，第一列余下两格 $2$ 种，其余唯一确定，共 $12$

避坑指南：拉丁方计数：先填第一行，再填第一列，剩余格子被行列约束唯一锁定；别把”唯一确定”当成多种选择重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方格计数是排列组合的形象题，2009 大纲Ⅰ文第 7 题、2013 大纲卷文第 14 题同型。

结论推广：分步乘法计数原理；约束传播：行列限制会逐步”锁死”剩余格子。

方法推广：按约束最强的位置优先填（第一行、第一列）；每步确认剩余选择数，最后相乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-07 单-组合计数
• 2010-大纲卷II文-09 单-分组分配计数
• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数