2007-大纲卷I文-15 填-正四棱锥外接球

本题导读

本题考查正四棱锥的结构，以及球的外接问题。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 正四棱锥 $S-ABCD$ 的底面边长和各侧棱长都为 $\sqrt{2}$，点 $S$，$A$，$B$，$C$，$D$ 都在同一个球面上，则该球的体积为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 底面正方形对角线为 $2$，中心到顶点距离 $OA=1$。
2. Rt$△SOA$ 中 $h=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=1$，$O$ 到五个顶点距离均为 $1$，即球心 $O$、半径 $1$。

✅【答案】

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$\frac{4\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设底面正方形中心为 $O$．底面边长 $\sqrt{2}$，对角线长 $2$，故 $OA=OB=OC=OD=1$． 侧棱 $SA=\sqrt{2}$，在 Rt$△SOA$ 中 $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{2-1}=1.$ 于是 $O$ 到五个顶点 $S$，$A$，$B$，$C$，$D$ 的距离都等于 $1$，即外接球球心为 $O$、半径 $R=1$． 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi }{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥外接球

核心方法：底面中心到各顶点等距 → 检验锥高与底面半径相等即球心

避坑指南：底面对角线 $=\sqrt{2}\times$ 边长 $=2$，中心到顶点 $1$（不是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$）；球心在锥高上，$SO=1$ 时恰好五点共球。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正棱锥外接球是立体几何小题的经典模型（2014 大纲卷文第 10 题同型）。

结论推广：正四棱锥中 $O{A}^2+h^2=S{A}^2$（$O$ 为底面中心）；当 $h=OA$ 时底面中心即球心。

方法推广：外接球题先找”到尽可能多点等距”的对称中心，再验证剩余顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球
• 2008-新课标卷文-14 填-六棱柱外接球