2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球

本题导读

$R^2=(4-R{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2$ 得 $R=\frac{9}{4}$，表面积 $\frac{81\pi }{4}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为()

A. $\frac{81\pi }{4}$　　　　　　B. $16\pi$　　　　　　C. $9\pi$　　　　　　D. $\frac{27\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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$R^2=(4-R{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2$ 得 $R=\frac{9}{4}$，表面积 $\frac{81\pi }{4}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设底面中心为 $O$，球心 $S$ 在棱锥高所在直线上，$OS=t$。底面是边长 2 的正方形，$O$ 到任一底面顶点的距离为 $\frac{\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\sqrt{2}$。

设棱锥顶点为 $V$，则 $SV=4-t$，$SU=\sqrt{t^2+(\sqrt{2}{)}^2}$。由 $SV=SU$：

$(4-t{)}^2=t^2+2$，展开 $16-8t=2$，$t=\frac{7}{4}$。

球半径 $R=4-t=\frac{9}{4}$，表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{81}{16}=\frac{81\pi }{4}$。

选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：外接球问题（轴截面法）；球的表面积公式

2. 核心方法：“球心在高线上”设 $OS=t$，用 $SV=SU$ 列勾股方程

3. 避坑指南：①底面中心到底面顶点的距离是 $\sqrt{2}$（对角线的一半），不是边长 2 也不是 1；②球心可能在棱锥内部也可能在外部，设 $t$ 后由方程自动判定，$t=\frac{7}{4}<4$ 说明球心在锥内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 外接球基础题（doc 考点定位：立体几何），与 2014 年新课标Ⅱ理第 18 题同族（柱锥的外接球）。

2. 结论推广: 一般地，锥体的高为 $h$、底面外接圆半径为 $r$ 时，外接球半径满足 $R^2=(h-R{)}^2+r^2$，即 $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$。

3. 方法推广: 外接球通法：找球心所在直线（过顶点垂直于底面），用”到各顶点等距”列勾股方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定
• 1990-全国卷理-20 填-棱柱的体积比