2007-大纲卷I文-16 填-等比数列基本量运算

本题导读

本题考查等比数列的前n项和公式，以及等差数列的定义。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_1$，$2S_2$，$3S_3$ 成等差数列，则 $\{a_n\}$ 的公比为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中项：$2\times 2S_2=S_1+3S_3$。
2. 代入求和公式，约去 $a_1\ne 0$，解出 $q$（$q\ne 0$）。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_1$、公比为 $q$，则 $S_1=a_1$，$S_2=a_1(1+q)$，$S_3=a_1(1+q+q^2)$． 由 $S_1$，$2S_2$，$3S_3$ 成等差数列得 $4S_2=S_1+3S_3,$ 代入并约去非零的 $a_1$： $4(1+q)=1+3(1+q+q^2)⟹4+4q=4+3q+3q^2⟹3q^2-q=0.$ 等比数列 $q\ne 0$，故 $q=\frac{1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量运算

核心方法：等差中项列式 → 求和公式展开 → 约去首项解 $q$

避坑指南：$q\ne 0$ 是等比数列的定义要求，$3q^2=q$ 的零解必须舍去；$S_2$、$S_3$ 展开别漏 $(1+q)$、$(1+q+q^2)$ 的括号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$S_1$，$2S_2$，$3S_3$ 成等差”是前 $n$ 项和与等差定义结合的典型命题（2007 大纲Ⅱ文亦考类似结构）。

结论推广：等比数列 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$），低次 $S_2$、$S_3$ 直接展开更快。

方法推广：含 $S_1$、$S_2$、$S_3$ 的条件一律用基本量展开，约去 $a_1$ 后解 $q$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比