2007-大纲卷I理-06 单-二元一次不等式组表示平面区域

本题导读

本题考查点到直线的距离公式及二元一次不等式组所表示的区域判定。对于选择题，直接将四个选项的已知点坐标代入距离公式和不等式组中进行双重筛选，是最稳妥、最高效的得分策略。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 下面给出的四个点中，到直线 $x-y+1=0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且位于 $\{\begin{array}{l}x+y-1<0\\ x-y+1>0\end{array}$ 表示的平面区域内的点是()

A. $(1,1)$　　B. $(-1,1)$　　C. $(-1,-1)$　　D. $(1,-1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一轮筛选（代入不等式组限制）：

• 不等式组要求第二式 $x-y+1>0$。
• 代入 A(1,1)： $1-1+1=1>0$（保留）。
• 代入 B(-1,1)： $-1-1+1=-1<0$（排除）。
• 代入 C(-1,-1)： $-1-(-1)+1=1>0$（保留）。
• 代入 D(1,-1)： $1-(-1)+1=3>0$（保留）。
• 再代入第一式 $x+y-1<0$： A(1,1)： $1+1-1=1>0$（排除）。 C(-1,-1)： $-1-1-1=-3<0$（保留）。 D(1,-1)： $1-1-1=-1<0$（保留）。

2. 第二轮筛选（利用距离公式）：对剩下的 C 和 D 选项，代入点到直线距离公式 $d=\frac{|x_0-y_0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$，看谁的结果等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：本题最严密快捷的策略为选项逐一双重指标筛查法：

• 第一步：依据平面区域不等式组进行初步过滤 目标点必须严格满足不等式组： $\{\begin{array}{l}x+y-1<0\text{(1)}\\ x-y+1>0\text{(2)}\end{array}$

• 对于 A(1, 1)：代入①式得 $1+1-1=1>0$，不满足①，排除；

• 对于 B(-1, 1)：代入②式得 $-1-1+1=-1<0$，不满足②，排除；

• 对于 C(-1, -1)：代入①得 $-1-1-1=-3<0$，满足；代入②得 $-1-(-1)+1=1>0$，满足。点 C 在区域内，暂留；

• 对于 D(1, -1)：代入①得 $1+(-1)-1=-1<0$，满足；代入②得 $1-(-1)+1=3>0$，满足。点 D 在区域内，暂留。

• 第二步：利用点到直线的距离公式进行精确锁定 点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离公式为： $d=\frac{|x_0-y_0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|x_0-y_0+1|}{\sqrt{2}}$ 我们对剩下的 C、D 两点分别计算距离：

• 对于 C(-1, -1)： $d_C=\frac{|-1-(-1)+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 完美契合题目要求的距离条件。
• 对于 D(1, -1)： $d_D=\frac{|1-(-1)+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$ 距离不符，排除。

综上所述，完全符合所有条件的点有且仅有 C 选项。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$、平面区域内点的代数符号对应关系。
2. 核心方法：逐项代入排除法。
3. 避坑指南：

• 很多同学习惯去画复杂的平面区域解析图，再画平行线求距离，那样做容易在选择题中浪费大量时间。记住选择题给出具体点坐标时，“代入验证”永远是耗时最少、精度最高的终极打法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是点到直线的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用代入验证法（选项排除法）、数形结合判定法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-03 单-点到直线距离
• 2008-大纲卷II理-05 单-线性规划
• 2008-安徽卷文-10 单-直线与圆公共点