2008-安徽卷文-10 单-直线与圆公共点

本题导读

本题由直线与圆有公共点列圆心到直线距离不超过半径：$d⩽1$，解出斜率范围，注意切线也算公共点故取闭区间。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 若过点 $A(4,0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围为()

A. $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$　　　B. $\left[-\sqrt{3},\sqrt{3}\right]$　　　C. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$　　　D. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设斜率为 $k$，直线 $kx-y-4k=0$，圆心 $(2,0)$，半径 $1$。
2. 有公共点 $\iff$ 圆心距 $d⩽1$，解关于 $k$ 的不等式。
3. 相切也有公共点，端点取得到，取闭区间。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设直线 $l$ 的斜率为 $k$，则 $l$：$y=k(x-4)$，即 $kx-y-4k=0$。 圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 的圆心为 $(2,0)$，半径为 $1$。 直线与圆有公共点，等价于圆心到直线的距离不超过半径： $\frac{|2k-4k|}{\sqrt{k^2+1}}⩽1$，即 $4k^2⩽k^2+1$，解得 $k^2⩽\frac{1}{3}$，$-\frac{\sqrt{3}}{3}⩽k⩽\frac{\sqrt{3}}{3}$。 相切时直线与圆也有公共点，端点取得到，故取闭区间，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆有公共点的条件

核心方法：圆心到直线距离 $d⩽r$ 解参数

避坑指南：相切也有公共点，斜率取闭区间 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$；漏掉切线会错选开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 广东文第 6 题、2009 辽宁文第 7 题同考直线与圆位置关系。

结论推广：有公共点即 $d⩽r$，等号对应相切。

方法推广：判别”公共点含切点”决定区间开闭，数形结合最稳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系