2007-大纲卷I理-16 填-空间两点间距离

本题导读

本题考查空间立体几何中正三棱柱与嵌套等腰直角三角形的度量计算。属于高分填空压轴题。核心在于理解“三个顶点分别在三条侧棱上”的运动约束，通过在直三棱柱的侧面展开图上建立几何等对关系，或直接利用空间直角坐标系将线段长度转化为方程求解。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建空间直角坐标系结构：

• 正三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形， 三条侧棱垂直于底面。
• 设三条侧棱分别通过底面正三角形的三个顶点 $A,B,C$。
• 以底面正三角形 $ABC$ 的中心或某个顶点为原点建系。 为化简计算， 设三条侧棱上等腰直角三角形的三个顶点坐标分别为 $P,Q,R$。
• 设 $P$ 在侧棱 $A$ 上： $P(0,0,z_1)$ （以 $A$ 为原点）。
• 通过将底面投影距离与垂直高度高度进行勾股组合， 表达出三角形的三条边长平方 $d_{PQ}^2,d_{QR}^2,d_{RP}^2$。

2. 利用等腰直角特征列方程：

• 设 $R$ 为直角顶点。则满足两腰平方相等 $d_{PR}^2=d_{QR}^2$，且两腰平方和等于斜边平方 $d_{PR}^2+d_{QR}^2=d_{PQ}^2$。

• 几何平移分析：由于底面是正三角形， 边长均为 2。 顶点在侧棱上移动， 实际上相当于在两个互相夹角为 $60^{\circ }$ 且平行的平面侧面上通过旋转勾股定理达到平衡。 利用侧面展开后的全等直角三角形， 可以直接锁定侧棱上的高度差。

✅【答案】

点击查看答案

$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设正三棱柱的垂直三条侧棱分别为 $l_1,l_2,l_3$。由于底面边长为 2 的正三角形， 任意两条侧棱之间的水平投影距离（底面边长）恒为： $d=2$ 设嵌在三条侧棱上的等腰直角三角形为 $△PQR$， 其中直角顶点为 $R$（即 $RP\perp RQ$ 且 $|RP|=|RQ|$）， 斜边为 $PQ$。

我们把正三棱柱的侧面沿侧棱切开并在平面上展开， 或者直接考量其空间高度相对差： 设直角顶点 $R$ 所在的高度为基准 0。 设顶点 $P$ 相比点 $R$ 的相对垂直高度为 $h_1$， 顶点 $Q$ 相比点 $R$ 的相对垂直高度为 $h_2$。

根据空间两点间距离的勾股定理关系， 空间任意两点线段的平方等于它们在底面的投影距离平方加上它们垂直高度差的平方：

• 腰 $RP$ 的平方： $R,P$ 在底面投影距离为底面边长 2， 高度差为 $h_1$。 故： $|RP{|}^2=2^2+h_1^2=4+h_1^2\text{(1)}$
• 腰 $RQ$ 的平方： $R,Q$ 在底面投影距离为底面边长 2， 高度差为 $h_2$。 故： $|RQ{|}^2=2^2+h_2^2=4+h_2^2\text{(2)}$
• 斜边 $PQ$ 的平方： $P,Q$ 在底面投影距离同样为底面边长 2， 高度差为 $|h_1-h_2|$。 故： $|PQ{|}^2=2^2+(h_1-h_2{)}^2=4+(h_1-h_2{)}^2\text{(3)}$

因为 $△PQR$ 是等腰直角三角形， 必须同时满足以下两个几何方程：

• 条件一：两腰长度相等 $|RP{|}^2=|RQ{|}^2⟹4+h_1^2=4+h_2^2⟹h_1^2=h_2^2$ 由于 $P$ 和 $Q$ 分立在不同的侧棱位置， 要使三角形具有直角斜向扭转， 它们的高度必然一正一负（即关于 $R$ 的基准面一上一下对称分布）。 因此解得高度差关系为： $h_1=-h_2(\text{不妨设 }{h}_1=h,h_2=-h,h>0)$

• 条件二：满足勾股定理（两腰平方和等于斜边平方） $|RP{|}^2+|RQ{|}^2=|PQ{|}^2$ 将含 $h$ 的表达式代入此恒等式中： $(4+h^2)+(4+(-h{)}^2)=4+[h-(-h){]}^2$ $8+2h^2=4+(2h{)}^2⟹8+2h^2=4+4h^2$ 移项合并同类项： $2h^2=4⟹h^2=2$

现在，我们将求得的 $h^2=2$ 代回斜边平方公式③式中，计算斜边长的平方： $|PQ{|}^2=4+(2h{)}^2=4+4h^2=4+4\times 2=4+8=12$

对其开平方求正根，得到等腰直角三角形的斜边长为： $|PQ|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱侧棱垂直面引发的空间勾股定理投影模型（ $|AB{|}^2=|A{B}_{\text{投影}}{|}^2+\Delta z^2$）、等腰直角三角形两腰相等与勾股恒等式联立。
2. 核心方法：高度参数化消元法（平移降维法）。
3. 避坑指南：

• 很多同学习习惯用复杂的立体空间三角形去建立几何垂线，会因为无法确定具体的倾斜角而陷入死胡同。牢记任何“柱体侧棱上的嵌套多边形问题”，核心破局命门都在于利用高度差 $\Delta z$ 配合底面投影距离直接写出空间勾股定理。通过设定基准面高度差，三步之内即可把三维立体题转化为初中最简单的代数方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱柱的侧棱平行与垂直特征、等腰直角三角形的边长关系是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正三棱柱的侧棱平行与垂直特征、等腰直角三角形的边长关系的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用展开平面转化法、空间坐标代数化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷理-15 填-三角
• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2010-江苏卷-06 填-双曲线焦半径