2008-广东卷理-15 填-三角

本题导读

本题考查圆的切线与割线的几何性质。利用切割线定理求出割线全长，进而利用直径所对圆周角为直角构造直角三角形，由勾股定理求得半径。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知 $PA$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $A$，$PA=2$.$AC$ 是圆 $O$ 的直径，$PC$ 与圆 $O$ 交于点 $B$，$PB=1$，则圆 $O$ 的半径 $R=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 依据切割线定理 $P{A}^2=PB\cdot PC$ 求出割线段 $PC$ 的长度，从而得到 $BC$。
2. 因为 $AC$ 是直径，由圆周角定理可知 $\angle ABC=90^{\circ }$。
3. 在直角三角形中利用勾股定理求出直径 $AC$，进而折半得到半径 $R$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $PA$ 是圆 $O$ 的切线，$PBC$ 是圆 $O$ 的割线， 由切割线定理得： $P{A}^2=PB\cdot PC$ 将 $PA=2,PB=1$ 代入上式得： $2^2=1\cdot PC⟹PC=4$ 因为 $PC=PB+BC$，所以 $BC=4-1=3$。

因为 $AC$ 是圆 $O$ 的直径，所以 $\angle ABC=90^{\circ }$，即 $AB\perp PC$。 在 $\mathrm{Rt}△PAB$ 中，由勾股定理得： $AB=\sqrt{P{A}^2-P{B}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

所以圆 $O$ 的半径为： $R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

正确答案为：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切割线定理；直径所对的圆周角为直角；勾股定理。
2. 核心方法：平面几何性质线段推导法（先通过圆幂定理找线段整体关系，再利用局部直角三角形解出未知边）。
3. 避坑指南：容易混淆半径与直径，求出 $AC=2\sqrt{3}$ 后，切记要除以 2 得到半径 $R$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于平面几何选讲中关于圆的幂定理（相交弦定理、切割线定理）的经典综合应用。
2. 结论推广: 若从圆外一点引切线 $PA$ 和过圆心的割线 $PC$，则满足 $△PAB\sim △PCA$，且满足关系式 $R=\frac{PA\cdot BC}{2AB}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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