2007-大纲卷II文-07 单-正三棱锥线面角

本题导读

本题考查正三棱锥的结构，以及直线与平面所成角。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 已知正三棱锥的侧棱长为底面边长的 $2$ 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面边长 $a$，侧棱 $2a$；顶点在底面的射影是底面正三角形中心。
2. 中心到底面顶点距离 $=\frac{a}{\sqrt{3}}$；侧棱、锥高、该距离构成直角三角形。
3. 所成角的邻边是 $\frac{a}{\sqrt{3}}$、斜边是 $2a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设底面正三角形边长为 $a$，则侧棱长为 $2a$． 正三棱锥顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心 $O$，中心到底面顶点的距离为 $OA=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}}.$ 侧棱与底面所成的角即侧棱 $SA$ 与 $AO$ 所成的角，在 Rt$△SOA$ 中 $\cos \theta =\frac{OA}{SA}=\frac{a/\sqrt{3}}{2a}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6},$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥线面角

核心方法：底面中心投影定直角三角形，余弦定义

避坑指南：正三棱锥顶点射影是底面中心而非某边中点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥结构特征

结论推广：中心到底面顶点距离为 \frac{a}{\sqrt3}

方法推广：立体几何线面角常归结为直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-11 单-三棱柱线面角
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角