2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角

本题导读

考查线面角。$A{B}_1$ 在底面的射影为 $AB$，$\tan \angle B_{1}AB=\frac{B_{1}B}{AB}=\sqrt{3}$ 得高 $\sqrt{3}$；$A_1{C}_1\parallel$ 底面，距离即高。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 若正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面边长为 $1$，$A{B}_1$ 与底面 $ABCD$ 成 $60^{\circ }$ 角，则 $A_1{C}_1$ 到底面 $ABCD$ 的距离为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $B_1$ 在底面的射影为 $B$，$A{B}_1$ 与底面所成角即 $\angle B_{1}AB=60^{\circ }$。
2. $\tan 60^{\circ }=\frac{B{B}_1}{AB}=\frac{h}{1}$，得 $h=\sqrt{3}$。
3. $A_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABCD$，其距离即棱柱高 $h$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$B_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $B$，故 $A{B}_1$ 与底面所成的角为 $\angle B_{1}AB=60^{\circ }$。 在 $\mathrm{Rt}△A{B}_{1}B$ 中，$AB=1$， $\tan 60^{\circ }=\frac{B{B}_1}{AB}⟹B{B}_1=\sqrt{3}.$ $A_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABCD$，故 $A_1{C}_1$ 到底面的距离等于棱柱的高 $\sqrt{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与正四棱柱的结构

核心方法：找射影定线面角 + 平行线转移距离

避坑指南：$A_1{C}_1\parallel$ 底面，其距离等于棱柱高；“线到面距离”常转移为”点面距离”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角求棱柱高是立体几何基础题。

结论推广：斜线与平面所成角 = 斜线与其在平面内射影的夹角。

方法推广：$\tan \theta =\frac{h}{\text{射影长}}$，本题 $\tan 60^{\circ }=\frac{h}{1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2013-大纲卷文-11 单-线面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角