2008-重庆卷理-05 单-正态分布

本题导读

本题考查概率与统计中的正态分布，主要利用正态分布曲线关于均值 $\mu$ 的对称性来快速解题。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(3,{\sigma }^2)$，则 $P(\xi <3)=$ ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 识别正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的均值 $\mu =3$。
2. 利用正态分布曲线关于直线 $x=\mu$ 对称且总面积为 1 的性质求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为随机变量 $\xi \sim N(3,{\sigma }^2)$， 其正态分布密度曲线关于直线 $x=3$ 对称。 根据对称性，在均值左侧的概率占总概率的一半， 即 $P(\xi <3)=\frac{1}{2}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布的对称性质。
2. 核心方法：直接利用 $P(\xi <\mu )=P(\xi >\mu )=0.5$ 定理。
3. 避坑指南：无需关注标准差 $\sigma$ 的大小，只要确定均值 $\mu$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：教材中关于正态分布密度曲线几何特征的直接应用。
2. 结论推广：若 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意恒等式有 $P(\xi <\mu -a)=P(\xi >\mu +a)$。

🔗【关联脉络】

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