2007-天津卷文-04 单-指对幂比较大小

本题导读

本题考查指数幂与对数值的比较大小。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设 $a={\log }_{\frac{1}{2}}3$，$b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{0.2}$，$c=2^{\frac{1}{3}}$，则 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $c<b<a$　　　　　C. $c<a<b$　　　　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

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1. $a$：底 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，真数 $3>1$，故 $a<0$。
2. $b$：底 $\frac{1}{3}\in (0,1)$，指数 $0.2>0$，故 $0<b<1$。
3. $c$：底 $2>1$，指数 $\frac{1}{3}>0$，故 $c>1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$a={\log }_{\frac{1}{2}}3$：底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 而真数 $3>1$，故 $a<0$； $b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{0.2}=3^{-\frac{1}{5}}$：底数小于 $1$、指数为正，故 $0<b<1$； $c=2^{\frac{1}{3}}$：底数大于 $1$、指数为正，故 $c>1$． 所以 $a<b<c$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指对幂比较大小

核心方法：与 0、1 分档比较

避坑指南：log_{1/2}3<0 容易误判为正；分档是最快路径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数与对数函数的单调性

结论推广：底与 1 比大小定增减，再与特殊值 0、1 比

方法推广：多数比较大小先分档再细比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-04 单-对数比较大小
• 2008-北京卷文-02 单-对数比较大小