2007-江西卷文-08 单-函数的凹凸性与不等式比较

本题导读

本题考查函数的凹凸性，以及不等式比较。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 若 $0<x<\frac{\pi }{2}$，则下列命题正确的是 ()

A. $\sin x<\frac{2}{\pi }x$　　　　　B. $\sin x>\frac{2}{\pi }x$　　　　　C. $\sin x<\frac{3}{\pi }x$　　　　　D. $\sin x>\frac{3}{\pi }x$

🔍【思路分析】

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1. $y=\sin x$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $y^{\prime \prime }=-\sin x<0$，图象严格下凹（向上凸）。
2. 连接 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ 的弦为 $y=\frac{2}{\pi }x$。
3. 严格凹函数图象在弦上方，故 $\sin x>\frac{2}{\pi }x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=\sin x$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上满足 $y^{\prime \prime }=-\sin x<0$，图象严格向下凹（即向上凸）． 连接端点 $(0,0)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ 的弦所在直线为 $y=\frac{2}{\pi }x$． 严格凹函数的图象在弦的上方，因此当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin x>\frac{2}{\pi }x$，故选 B． （几何直观：正弦曲线在第一象限弓在对角线上方；$\frac{3}{\pi }x$ 不是弦的位置，无法整体比较，如 $x$ 接近 $\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin x\to 1<\frac{3}{2}$，D 不恒成立．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的凹凸性与不等式比较

核心方法：$y=\sin x$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上严格上凹，图象在弦 $y=\frac{2}{\pi }x$ 上方

避坑指南：“上凹”（$y^{\prime \prime }<0$）图象在弦上方，对应 $\sin x>\frac{2}{\pi }x$；方向别记反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数凹凸性与不等式比较，考查 $\sin x$ 的凸性

结论推广：$y=\sin x$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上凹，有 $\sin x>\frac{2}{\pi }x$（Jordan 不等式特例）

方法推广：凹凸性判不等式：下凹在弦下、上凹在弦上

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