2007-天津卷文-07 单-双曲线标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的准线与离心率。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\sqrt{3}$，且它的一条准线与抛物线 $y^2=4x$ 的准线重合，则此双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$　B. $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{96}=1$　C. $\frac{x^2}{3}-\frac{2y^2}{3}=1$　D. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$

🔍【思路分析】

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1. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow c^2=3a^2\Rightarrow b^2=c^2-a^2=2a^2$。
2. 抛物线 $y^2=4x$ 的准线 $x=-1$；双曲线左准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{a}{\sqrt{3}}$，重合得 $\frac{a}{\sqrt{3}}=1$。
3. 解出 $a^2=3$，$b^2=6$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，得 $c^2=3a^2$，故 $b^2=c^2-a^2=2a^2.$ 抛物线 $y^2=4x$ 的准线为 $x=-1$；双曲线的左准线为 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{a}{\sqrt{3}}$． 由准线重合得 $\frac{a}{\sqrt{3}}=1$，即 $a=\sqrt{3}$，$a^2=3$，$b^2=2a^2=6$． 故双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1,$ 选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线标准方程

核心方法：离心率定 b²=2a²，准线重合定 a

避坑指南：双曲线准线 x=±a²/c；与抛物线 y²=4x 准线 x=−1 重合的是左准线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与抛物线的准线

结论推广：e=\sqrt3 ⟺ b²=2a²

方法推广：离心率与准线是定方程的两把钥匙

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2009-江西卷文-07 单-双曲线离心率