2007-湖北卷文-12 填-双曲线定义与方程

本题导读

本题考查双曲线定义。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 过双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ 左焦点 $F_1$ 的直线交双曲线的左支于 $M$、$N$ 两点，$F_2$ 为其右焦点，则 $|M{F}_2|+|N{F}_2|-|MN|$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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1. $a=2$，左支上点：$|X{F}_2|-|X{F}_1|=2a=4$。
2. $|M{F}_2|-|M{F}_1|=4$，$|N{F}_2|-|N{F}_1|=4$。
3. $F_1$ 在线段 $MN$ 上（直线过 $F_1$ 交左支两点），$|MN|=|M{F}_1|+|N{F}_1|$，代入即得。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $a^2=4$，$a=2$；$M$、$N$ 在左支，由定义 $|M{F}_2|-|M{F}_1|=2a=4,|N{F}_2|-|N{F}_1|=2a=4.$ 两式相加：$|M{F}_2|+|N{F}_2|-(|M{F}_1|+|N{F}_1|)=8$． 直线过左焦点 $F_1$ 且 $M$、$N$ 都在左支，$F_1$ 在 $M$、$N$ 之间，故 $|MN|=|M{F}_1|+|N{F}_1|$， 所以 $|M{F}_2|+|N{F}_2|-|MN|=8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与方程

核心方法：由 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$ 及已知关系定 $a$，结合焦点定 $c$ 求 $b$

避坑指南：双曲线定义是”差的绝对值”；$c^2=a^2+b^2$（双曲线是加）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线定义与方程，圆锥曲线小题

结论推广：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$ 定 $a$；$c^2=a^2+b^2$

方法推广：双曲线用”差”定义，椭圆用”和”定义，勿混淆

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2008-四川卷文-11 单-双曲线焦点三角形面积
• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2007-辽宁卷文-03 单-双曲线焦点坐标
• 2007-天津卷文-07 单-双曲线标准方程