2007-天津卷文-08 单-等差数列等比中项

本题导读

本题考查等差数列的通项，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 不为 $0$，$a_1=9d$．若 $a_k$ 是 $a_1$ 与 $a_{2k}$ 的等比中项，则 $k=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. $a_n=a_1+(n-1)d=(n+8)d$。
2. 等比中项：$a_k^2=a_1\cdot a_{2k}$，代入约去 $d^2$。
3. 解一元二次方程，$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 取正根。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=9d$ 得通项 $a_n=a_1+(n-1)d=(n+8)d$． $a_k$ 是 $a_1$ 与 $a_{2k}$ 的等比中项，即 $a_k^2=a_1\cdot a_{2k}$： ${\left[(k+8)d\right]}^2=9d\cdot (2k+8)d.$ 因 $d\ne 0$，约去 $d^2$： $(k+8{)}^2=9(2k+8)⟹k^2+16k+64=18k+72⟹k^2-2k-8=0,$ 解得 $k=4$ 或 $k=-2$．由 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，故 $k=4$，选 B． （验证：$k=4$ 时 $a_4=12d$，$a_1=9d$，$a_8=16d$，$a_4^2=144d^2=9d\cdot 16d$ ✓）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列等比中项

核心方法：通项代入等比中项方程

避坑指南：a_k²=a₁a_{2k} 约去 d² 的前提是 d≠0；k 必须取正整数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差通项与等比中项

结论推广：b²=ac 是 a,b,c 成等比的充要条件（a,c 同号时）

方法推广：基本量思想：一切用 a₁ 与 d 表示

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项