2007-天津卷文-15 填-中线向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的线性运算（中线向量）。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$AB=2$，$AC=3$，$D$ 是边 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$；$D$ 为 $BC$ 中点，$\overrightarrow{AD}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$。
2. $\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}-\mathbf{b}$。
3. 数量积化为模的平方差。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

记 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$．因 $D$ 是 $BC$ 的中点， $\overrightarrow{AD}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}-\mathbf{b}.$ 于是 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{(\mathbf{b}+\mathbf{c})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{b})}{2}=\frac{|\mathbf{c}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2}{2}=\frac{A{C}^2-A{B}^2}{2}=\frac{9-4}{2}=\frac{5}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中线向量数量积

核心方法：中线向量公式，平方差化模

避坑指南：AD=(b+c)/2 与 BC=c−b 点积后只剩 |c|²−|b|²，与夹角无关

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的运算律

结论推广：(u+v)·(u−v)=|u|²−|v|²

方法推广：中线问题套 AD=(AB+AC)/2 可秒化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型
• 2010-四川卷文-06 单-向量模长中线