2007-湖北卷文-09 单-充要条件与不等式

本题导读

本题考查向量投影，以及向量坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 设 $\mathbf{a}=(4,3)$，$\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影为 $\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\mathbf{b}$ 在 $x$ 轴上的投影为 $2$，且 $|\mathbf{b}|⩽14$，则 $\mathbf{b}$ 为 ()

A. $(2,14)$　　　　B. $\left(2,-\frac{2}{7}\right)$　　　　C. $\left(-2,\frac{2}{7}\right)$　　　　D. $(2,8)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $b$ 在 $x$ 轴上投影为 $2$：$b_x=2$（排除 C）。
2. 设 $b=(2,t)$，$a$ 在 $b$ 上投影 $=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{8+3t}{\sqrt{4+t^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
3. 平方：$(8+3t{)}^2=\frac{50}{4}(4+t^2)$，即 $2(8+3t{)}^2=25(4+t^2)$，解 $t$ 并验证 $|b|⩽14$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{b}$ 在 $x$ 轴上的投影即 $b_x=2$，设 $\mathbf{b}=(2,t)$． $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影为 $\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=\frac{8+3t}{\sqrt{4+t^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$． 两边平方：$2(8+3t{)}^2=25(4+t^2)$，展开 $128+96t+18t^2=100+25t^2$， 即 $7t^2-96t-28=0$，解得 $t=\frac{96\pm \sqrt{9216+784}}{14}=\frac{96\pm 100}{14}$，即 $t=14$ 或 $t=-\frac{2}{7}$． 检验：$t=14$ 时 $\mathbf{b}=(2,14)$，$|\mathbf{b}|=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14.14>14$，且此时 $\frac{8+42}{10\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 数值相等但 $|\mathbf{b}|⩽14$ 不满足，舍去； $t=-\frac{2}{7}$ 时 $\mathbf{b}=\left(2,-\frac{2}{7}\right)$，$|\mathbf{b}|=\frac{10\sqrt{2}}{7}⩽14$ ✓． 故 $\mathbf{b}=\left(2,-\frac{2}{7}\right)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件与不等式

核心方法：由不等式解集关系判充要：$p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$ 分别验证

避坑指南：充要条件看清方向；$|x|<2$ 与 $x<2$ 是充分不必要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件与不等式解集，常用逻辑用语

结论推广：$p\Rightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$ ⟺ 充要

方法推广：充要条件判断：双向验证，注意方向

🔗【关联脉络】

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