2010-四川卷文-06 单-向量模长中线

本题导读

考查向量模长与数量积。$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ 平方即 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$；由中点公式 $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}{|}^2$，得 $|\overrightarrow{AM}|=2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 设点 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，点 $A$ 在直线 $BC$ 外，${\overrightarrow{BC}}^2=16$，$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，则 $|\overrightarrow{AM}|=$()

A. $8$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 对模长相等式两边平方：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，即 $AB\perp AC$。
2. $M$ 为 $BC$ 中点：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。
3. 展开平方，交叉项为零，$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2)=\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}{|}^2=\frac{1}{4}\times 16$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$ 两边平方： $|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC},$ 得 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，即 $AB\perp AC$，$△ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形. 由 $M$ 是 $BC$ 的中点，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，故 $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{1}{4}{\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}^2=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2\right).$ 又 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，故 $|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2=16,$ 所以 $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{16}{4}=4$，$|\overrightarrow{AM}|=2$. （几何解释：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.） 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模长的平方与中点公式

核心方法：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$；$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}{|}^2=4$，$|\overrightarrow{AM}|=2$

避坑指南：模长相等要平方后才能看出数量积关系，别直接约去模；$M$ 为中点时 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，展开后交叉项符号要配平；本题也可几何理解为”直角三角形斜边中线等于斜边一半”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|⟺\vec{a}\perp \vec{b}$ 是向量小题的经典等价条件，各地卷多次考查。

结论推广：模平方公式 $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}$；中点向量公式对任意三角形成立。

方法推广：模长问题一律先平方化为数量积；求中线长优先用中点向量公式，配合垂直条件可大幅简化运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-山东卷文-08 单-向量中点
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积