2019-全国卷I理-10 单-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及椭圆的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，过 $F_2$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点．若 $|A{F}_2|=2|F_{2}B|$，$|AB|=|B{F}_1|$，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{2}+y^2=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数化边长：已知焦点 $c=1$。设 $|F_{2}B|=n$，根据比例关系 $|A{F}_2|=2n$，则总弦长 $|AB|=3n$。

2. 利用题目条件：由 $|AB|=|B{F}_1|$ 知 $|B{F}_1|=3n$。

3. 应用椭圆定义：根据定义 $|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$，可得 $2a=3n+n=4n$。

4. 转化其他边长：在 $△A{F}_1{F}_2$ 中，$|A{F}_1|=2a-|A{F}_2|=4n-2n=2n$。

5. 余弦定理破题：

   • 方法一：在 $△A{F}_{1}B$ 中三边已知（均为 $n$ 的倍数），求出 $\cos \angle F_{1}AB$，再在 $△A{F}_1{F}_2$ 中求出 $n$。

   • 方法二：利用 $\angle A{F}_2{F}_1$ 与 $\angle B{F}_2{F}_1$ 互补，在 $△A{F}_1{F}_2$ 和 $△B{F}_1{F}_2$ 中分别列余弦定理方程组消参。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

第一步：设参数并转化边长

由题意，设 $|F_{2}B|=n$，则 $|A{F}_2|=2n$。

由 $|AB|=|A{F}_2|+|F_{2}B|=3n$，结合已知 $|AB|=|B{F}_1|$，得 $|B{F}_1|=3n$。

根据椭圆定义：$2a=|B{F}_1|+|B{F}_2|=3n+n=4n$，即 $a=2n$。

对于点 $A$，同样根据定义：$|A{F}_1|=2a-|A{F}_2|=4n-2n=2n$。

第二步：在三角形中应用余弦定理

在 $△A{F}_{1}B$ 中：

$|A{F}_1|=2n$，$|AB|=3n$，$|B{F}_1|=3n$。

由余弦定理推论得：

$\cos \angle F_{1}AB=\frac{|A{F}_1{|}^2+|AB{|}^2-|B{F}_1{|}^2}{2|A{F}_1||AB|}=\frac{(2n{)}^2+(3n{)}^2-(3n{)}^2}{2\cdot 2n\cdot 3n}=\frac{4n^2}{12n^2}=\frac{1}{3}$。

第三步：求解参数 $n$ 与 $a$

在 $△A{F}_1{F}_2$ 中：

$|A{F}_1|=2n$，$|A{F}_2|=2n$，$|F_1{F}_2|=2c=2$。

由余弦定理得：

$|F_1{F}_2{|}^2=|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2-2|A{F}_1||A{F}_2|\cos \angle F_{1}A{F}_2$

$2^2=(2n{)}^2+(2n{)}^2-2(2n)(2n)\cdot \frac{1}{3}$

$4=4n^2+4n^2-\frac{8}{3}{n}^2=\frac{16}{3}{n}^2$

解得：$n^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}⟹n=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

第四步：确定椭圆方程

$a=2n=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故 $a^2=3$。

已知 $c=1$，则 $b^2=a^2-c^2=3-1=2$。

椭圆方程为：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何转化：解决圆锥曲线焦点弦问题的核心是利用定义将“看不见的边（到另一焦点的距离）”转化为“看得见的参数（$a,n$）”。

• 辅助三角形：本题中 $△A{F}_{1}B$ 是等腰三角形（$|AB|=|B{F}_1|$），$△A{F}_1{F}_2$ 也是等腰三角形（$|A{F}_1|=|A{F}_2|$），发现这些特殊的几何关系能极大简化运算。

• 余弦定理的通用性：当图形中出现互补角或多个三角形共边、共角时，余弦定理是联立方程的首选工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 焦点三角形面积公式：$S_{△P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（$\theta$ 为顶角）。

2. 通径长度：过焦点且垂直于长轴的弦长为 $\frac{2b^2}{a}$。

3. 焦点弦比例：若直线斜率为 $k$，焦点弦两部分 $m,n$ 满足 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2a}{b^2}$。本题也可以尝试用此调和平均性质作为进阶验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-安徽卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-山东卷理-22 解-椭圆方程与性质