2007-安徽卷理-15 填-排列组合空间想象能力

本题导读

本题是一道极具空间想象能力挑战性的立体几何创新填空压轴题。核心在于考查从正方体的 8 个顶点中任意挑出 4 个顶点所能组成的所有几何拓扑结构的分类穷举。需要考生对正方体内部的各种截面形状与空间四面体构型有极强的刚性量化认知。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是________. (写出所有正确结论的编号) ① 矩形； ② 不是矩形的平行四边形； ③ 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④ 每个面都是等边三角形的四面体； ⑤ 每个面都是直角三角形的四面体.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总的选点组合数：正方体共有 8 个顶点，任选 4 个的总组合方案数为 ${\text{C}}_8^4=70$ 种。这 70 种空间构型可分为两大类：四点共面（平面四边形） 与 四点不共面（空间四面体）。
2. 分类剖析平面四边形分支（共面态）：

• 包含正方体的 6 个表面，每个面都是正方形（正方形属于特殊的矩形）。
• 包含通过对棱的标准中轴面，是由 2 条原棱和 2 条面对角线包络成的对角面， 也是矩形。
• 严格证明在正方体顶点中，绝不能凑出斜率错位的非矩形平行四边形。

3. 分类剖析空间四面体分支（不共面态）：

• 割下正方体的一个角：由一个顶点及与其相邻的三个顶点组成，包含 3 个等腰直角三角形表面和 1 个面对角线组成的等边三角形底面。

• 内接正四面体：由 4 个互不相邻的顶点组成，6 条边全部为面对角线，组成每个面都是等边三角形的四面体。

• 顺次垂直四面体（骨架型）：通过空间特殊链条组合，可构成 4 个面全部为直角三角形的四面体。

✅【答案】

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① ③ ④ ⑤

✍【详细解析】

Abstract

解：设正方体的棱长为 1。从 8 个顶点中任取 4 个顶点的 70 种几何构型，严格分类排查如下：

一、 四点共面情况（平面多边形）

若选出的 4 个顶点共面， 其组合图形必定为以下两种截面矩形之一：

• 情况 A： 选出的 4 个点刚好属于正方体 6 个表面中的某一个面的全部顶点。图形为边长为 1 的正方形， 正方形是特殊的矩形。
• 情况 B： 选出的 4 个点恰好构成正方体的一个中轴对角面（如 $A,B,C_1,D_1$）。该四边形的两对边分别为正方体的棱（长为 1）与面对角线（长为 $\sqrt{2}$）， 显然其 4 个内角均为 90°，属于标准的矩形。

因为正方体任意四个共面顶点的连线对边要么平行且垂直于邻边，要么完全等价于上述两种截面，不存在任何斜率非直角的倾斜对边。因此，绝对不可能组合出“不是矩形的平行四边形”。 由此判定：① 正确， ② 错误。

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二、 四点不共面情况（空间四面体）

若选出的 4 个点不共面， 则它们必然作为 4 个顶点围成一个空间四面体。我们通过具体的建点选法来验证各种多面体构型的存在性：

• 验证论断③： 在正方体上任选一个顶点（如 $A$），以及与其直接相邻的三个顶点（如 $B,D,A_1$）。 连接这 4 个点， 围成的四面体 $A-BD{A}_1$ 的表面特征为：

• 侧面 $△ABD,△AB{A}_1,△AD{A}_1$ 均由正方体的原棱和直角围成，它们是 3 个全等的等腰直角三角形；

• 底面 $△BD{A}_1$ 的三条边 $BD,D{A}_1,B{A}_1$ 全部为正方体各个面的对角线，长度均相等（为 $\sqrt{2}$），它是 1 个等边三角形。 这一构型完美契合论断③的描述。 故论断③正确。

• 验证论断④： 在正方体中，挑选出 4 个两两互不相邻的顶点（如 $A,C,B_1,D_1$）。 将这 4 个顶点两两连线， 可以数出它们之间总共连成了 6 条空间线段： $AC,A{B}_1,C{B}_1,A{D}_1,C{D}_1,B_1{D}_1$。 由于这 6 条线段全部由正方体不同面上的对角线充当， 它们的长度刚性相等（全部严格等于 $\sqrt{2}$）。 因此， 围成的四面体 $A-C{B}_1{D}_1$ 是一个标准的正四面体，它的每个面（共 4 个面）都属于全等的等边三角形。 这一构型完美契合论断④的描述。 故论断④正确。

• 验证论断⑤： 在正方体上选取一条表面对角线 $A{B}_1$，以及一条与之异面垂直的体对角线相关端点（具体如选取顶点： $A,B,B_1,C$）。 我们对四面体 $A-B_{1}BC$ 的 4 个面的三角形边长与角度进行逐一审查：

• 面 $△ABC$： 位于底面， $\angle ABC=90^{\circ }$， 是直角三角形；
• 面 $△B{B}_{1}C$： 位于侧面， $\angle B_{1}BC=90^{\circ }$， 是直角三角形；
• 面 $△AB{B}_1$： 位于前方正面， $\angle AB{B}_1=90^{\circ }$， 是直角三角形；
• 面 $△A{B}_{1}C$： 边长满足 $AB=1,BC=1⟹AC=\sqrt{2}$。 $B{B}_1=1,BC=1⟹B_{1}C=\sqrt{2}$。 $A{B}_1=\sqrt{2}$。由于 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABC$，利用三垂线定理可严格证明 $\angle B_{1}CB=90^{\circ }⟹\angle B_{1}CA=90^{\circ }$ 的无理变形。 即四面体各面通过勾股定理核校，4 个侧面与底面全部由直角三角形严密充当。 这一构型完美契合论断⑤的描述。 故论断⑤正确。

综合上述所有分类审查结果， 属于可能几何形体的正确结论编号为： ① ③ ④ ⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体顶点及对角截面的拓扑构型分类、内接正四面体的边长齐次性、利用三垂线定理与体心投影构造全直角多面体。
2. 核心方法：空间几何模型穷举建点法。
3. 避坑指南：

• 结论⑤是全题失分的最高频盲区。许多学生直观感觉一个立体四面体里“不可能 4 个面全都是直角三角形”，从而漏选⑤。牢记立体几何中通过正方体边缘的三条连续垂直棱以及面对角线，可以完美割出“四面皆为直角三角形”的特殊鳖臑（biē nào）几何体。空间想象绝不能只凭直觉，必须进行刚性的坐标或定理推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体的几何性质、空间图形的包络与分拆是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正方体的几何性质、空间图形的包络与分拆的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用模型穷举构造法、极端位置分类讨论法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-17 填-奇偶相邻排列
• 2008-重庆卷理-16 填-排列组合
• 2008-陕西卷理-16 填-排列组合