2008-陕西卷理-16 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的实际应用问题，通过对特殊位置（第一棒和最后一棒）施加人员限制，重点考查分类讨论思想与基本计数原理的综合运用。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 $\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 观察发现甲、乙两人既对第一棒有限制，又对最后一棒有限制，属于双重受限元素，应优先作为分类标准。
2. 按第一棒的归属分为三类：甲、乙、丙，分别计算最后一棒及中间四棒的排列数，最后求和。

✅【答案】

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$96$

✍【详细解析】

Abstract

根据第一棒火炬手的情况，分三类讨论： ① 若第一棒为甲，则最后一棒只能从剩余符合条件的人中选，因甲已使用，最后一棒只能选乙（1种），中间 4 段由其余 4 人全排列，有 $A_4^4=24$ 种； ② 若第一棒为乙，同理最后一棒只能选甲（1种），中间 4 段有 $A_4^4=24$ 种； ③ 若第一棒为丙，则最后一棒可以从甲、乙中选 1 人，有 $A_2^1=2$ 种，中间 4 段有 $A_4^4=24$ 种，共有 $2\times 24=48$ 种。

由分类加法计数原理，不同传递方案共有 $24+24+48=96$ 种。

故答案为：96。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列组合问题。
2. 核心方法：特殊位置（元素）优先法，合理分类避免重复与遗漏。
3. 避坑指南：如果脱离元素交叉限制直接先安排最后一棒再安排第一棒，容易忽略“甲或乙在第一棒时对最后一棒人员位置的挤占”，导致计数重复或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于传统排列组合中“排队问题”的变式（如：某三人不能站排头，某两人只能站排尾等受限排队模型）。
2. 结论推广: 对于两端受交叉限制的排列问题，优先对处于交叉核心地位的元素（本题中的甲、乙）进行分类讨论，是解决此类问题的通用范式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合