2007-广东卷文-11 填-抛物线方程定点代入

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线关于 $x$ 轴对称，顶点在原点 $O$，且过点 $P(2,4)$，则该抛物线的方程是　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 关于 $x$ 轴对称且顶点在原点：方程形如 $y^2=2px$（$p>0$）。
2. 过 $P(2,4)$ 在第一象限，开口向 $x$ 轴正方向。
3. 代入：$16=4p$，$p=4$。

✅【答案】

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$y^2=8x$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线的顶点为原点且关于 $x$ 轴对称，故其轴为 $x$ 轴，方程可设为 $y^2=2px$（$p>0$）． 将点 $P(2,4)$ 代入，得 $16=4p$，从而 $p=4$． 因此抛物线方程为 $y^2=8x$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线方程定点代入

核心方法：开口向右设 $y^2=2px$，代入 $(2,4)$ 得 $p=4$

避坑指南：点在第一象限且关于 $x$ 轴对称，只能开口向右（$x^2=2py$ 过不了该点）；标准方程形式与开口方向要对应

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由定点求抛物线标准方程为圆锥曲线基础题，2013 广东理 20 深化为含参抛物线

结论推广：对称轴与开口方向决定标准方程形式，代点定系数

方法推广：定点定型问题：先由对称性与点位确定开口方向，再选对应标准方程形式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-广东卷文-20 解-抛物线切线弦
• 2011-广东卷文-21 解-抛物线轨迹与最值