2013-广东卷文-20 解-抛物线切线弦

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。核心在于点差法、焦半径转化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F(0,c)$（$c>0$）到直线 $l$：$x-y-2=0$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA$，$PB$，其中 $A$，$B$ 为切点.

(1)求抛物线 $C$ 的方程；

(2)当点 $P(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程；

(3)当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF|\cdot |BF|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. （1）$\frac{|0-c-2|}{\sqrt{2}}=\frac{c+2}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ → $c=1$ → $x^2=4y$。
2. （2）切线 $x_{1}x=2(y+y_1)$，把 $P(x_0,y_0)$ 代入两条切线 → $AB$ 都满足 $x_{0}x-2y-2y_0=0$。
3. （3）$x_0=y_0+2$；联立得 $x_1{x}_2=4y_0$，$y_1{y}_2=y_0^2$，$y_1+y_2=x_0^2-2y_0$；$|AF|\cdot |BF|=(y_1+1)(y_2+1)=2y_0^2+2y_0+5=2{\left(y_0+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}⩾\frac{9}{2}$。

✅【答案】

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(1)$x^2=4y$；(2)$x_{0}x-2y-2y_0=0$；(3)$\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线顶点在原点、焦点 $F(0,c)$（$c>0$）在 $y$ 轴正半轴，设 $x^2=2py$（$p=2c$）。 由 $F(0,c)$ 到直线 $x-y-2=0$ 的距离 $d=\frac{|0-c-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{c+2}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2},$ 得 $c+2=3$，$c=1$。 故抛物线 $C$：$x^2=4y$。 （2）由（1），$y=\frac{x^2}{4}$，$y\acute{=}\frac{x}{2}$。设切点 $A\left(x_1,\frac{x_1^2}{4}\right)$，则切线 $PA$ 的方程为 $y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}(x-x_1)即x_{1}x=2y+\frac{x_1^2}{2}.$ 由 $P(x_0,y_0)$ 在切线上：$x_1{x}_0=2y_0+\frac{x_1^2}{2}$，结合 $y_1=\frac{x_1^2}{4}$ 化简为 $x_0{x}_1-2y_1=2y_0.$ 同理 $x_0{x}_2-2y_2=2y_0$。 故点 $A$、$B$ 的坐标都满足方程 $x_{0}x-2y-2y_0=0$，由两点确定一条直线，得 $直线AB:x_{0}x-2y-2y_0=0.$ （3）$P$ 在直线 $l$ 上，故 $x_0=y_0+2$。 联立 $\{\begin{array}{l}{x}_{0}x-2y-2y_0=0,\\ x^2=4y,\end{array}$ 消去 $y$： $x^2-2x_{0}x+4y_0=0,$ 其中 $x_1$，$x_2$ 为两根：$x_1{x}_2=4y_0$，$x_1+x_2=2x_0$。 于是 $y_1{y}_2=\frac{x_1^2{x}_2^2}{16}=y_0^2$， $y_1+y_2=\frac{x_1^2+x_2^2}{4}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{4}=x_0^2-2y_0.$ 由（1），焦点 $F(0,1)$，准线 $y=-1$，由抛物线定义 $|AF|=y_1+1$，$|BF|=y_2+1$，故 $|AF|\cdot |BF|=(y_1+1)(y_2+1)=y_1{y}_2+y_1+y_2+1=y_0^2+x_0^2-2y_0+1.$ 代入 $x_0=y_0+2$： $|AF|\cdot |BF|=y_0^2+(y_0+2{)}^2-2y_0+1=2y_0^2+2y_0+5=2{\left(y_0+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}⩾\frac{9}{2},$ 当且仅当 $y_0=-\frac{1}{2}$（此时 $x_0=\frac{3}{2}$）时取等号。 故 $|AF|\cdot |BF|$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的切线与切点弦

核心方法：$\frac{c+2}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ → $c=1$ → $x^2=4y$；切线 $x_{1}x=2(y+y_1)$，$P$ 在两条切线上 → $AB$：$x_{0}x-2y-2y_0=0$；$|AF|\cdot |BF|=(y_1+1)(y_2+1)=2y_0^2+2y_0+5⩾\frac{9}{2}$

避坑指南：切点弦 $AB$ 的方程不必求切点坐标——把 $P$ 代入两条切线方程后，$AB$ 坐标同满足 $x_{0}x-2y-2y_0=0$，由两点定直线；$|AF|=y_A+1$ 用抛物线定义（准线 $y=-1$）转化，别用两点距离公式硬算；最值配方 $2{\left(y_0+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}$，开口向上别看错对称轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的标准方程、切线方程与焦半径（切点弦模型，广东卷解答题压轴）。

结论推广：点代入切线方程整体化（切点弦）；抛物线定义转化焦半径；配方法求最值。

方法推广：距离定方程 → 切线代入得弦方程 → 韦达 + 定义转焦半径积 → 配方。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线