2007-新课标卷文-09 单-三角齐次式求值

本题导读

本题考查余弦的二倍角公式，以及和差角公式化同角。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 若 $\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\cos \alpha +\sin \alpha$ 的值为 ()

A. $-\frac{\sqrt{7}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{7}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos 2\alpha$ 平方差分解为 $(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$。
2. 分母展开 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )=-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha -\sin \alpha )$，与分子约去公因式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$， $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )$． 于是（$\cos \alpha \ne \sin \alpha$，否则分母为 $0$） $\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}=\frac{(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )}=-\sqrt{2}(\cos \alpha +\sin \alpha ).$ 由题设 $-\sqrt{2}(\cos \alpha +\sin \alpha )=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{1}{2}$．故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角齐次式求值

核心方法：二倍角平方差分解 + 和差角公式展开分母

避坑指南：$\cos \alpha =\sin \alpha$ 时分母为零须排除；约去公因式前确认其非零。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：齐次式 $\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}$ 是 2007 年的创新题型。

结论推广：$\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}=-\sqrt{2}(\cos \alpha +\sin \alpha )$。

方法推广：见 $\cos 2\alpha$ 想平方差，见 $\alpha \pm \frac{\pi }{4}$ 想和差角展开。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2014-新课标I卷理-08 单-和差角公式
• 2010-新课标卷文-10 单-和角正弦求值