2010-新课标卷文-10 单-和角正弦求值

本题导读

考查和角公式。$\sin \alpha =-\frac{3}{5}$，$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 若 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\alpha$ 是第三象限的角，则 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 等于()

A. $-\frac{7\sqrt{2}}{10}$　　　　　B. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$　　　　　C. $-\frac{\sqrt{2}}{10}$　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第三象限：$\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$。
2. $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$。
3. $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第三象限的角，且 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$， 所以 $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{3}{5}$。 由两角和的正弦公式， $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)=-\frac{7\sqrt{2}}{10}.$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系与两角和公式

核心方法：象限定符号求 $\sin \alpha$，和角公式展开合并

避坑指南：第三象限正弦为负：$\sin \alpha =-\frac{3}{5}$；若误取 $\frac{3}{5}$ 则得 $-\frac{\sqrt{2}}{10}$ 落入干扰项 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$ 是和角公式最常用的展开形态。

结论推广：$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ 搭配 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$，$3$、$4$、$5$ 勾股数要敏感。

方法推广：象限符号是同角求值的第一道关卡，先定号再计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-09 填-同角三角求值
• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-重庆卷文-12 填-同角三角求值
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号