2007-新课标卷文-13 填-双曲线的离心率（渐近线距离）

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及焦点到渐近线的距离。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 $2$，焦点到渐近线的距离为 $6$，则该双曲线的离心率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 渐近线 $bx-ay=0$：焦点 $(c,0)$ 到渐近线距离 $=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=b$。
2. 顶点 $(a,0)$ 到渐近线距离 $=\frac{ab}{c}=2$，两式相除得 $\frac{a}{c}$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），渐近线 $bx-ay=0$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$． 焦点 $(c,0)$ 到渐近线的距离 $=\frac{bc}{c}=b=6$；顶点 $(a,0)$ 到渐近线的距离 $=\frac{ab}{c}=2$． 两式相除：$\frac{ab/c}{b}=\frac{a}{c}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，故 $e=\frac{c}{a}=3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率（渐近线距离）

核心方法：焦点到渐近线距离 $=b$，顶点到渐近线距离 $=\frac{ab}{c}$

避坑指南：两个距离公式分子不同（$bc$ 与 $ab$），作比时 $b$ 恰好消去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线与离心率是双曲线考查的双核心。

结论推广：顶点、焦点到渐近线距离之比 $=\frac{a}{c}=\frac{1}{e}$。

方法推广：点到直线距离公式 + 渐近线方程，两步得离心率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2010-新课标卷文-05 单-双曲线离心率