2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，则 $C$ 的渐近线方程为()

A. $y=\pm \frac{1}{4}x$　　　　　B. $y=\pm \frac{1}{3}x$　　　　　C. $y=\pm \frac{1}{2}x$　　　　　D. $y=\pm x$

🔍【思路分析】

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1. $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$。
2. 得 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$，$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4},$ 故 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$，$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。 所以渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{2}x,$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：离心率与渐近线斜率互化

避坑指南：横轴双曲线的渐近线是 $y=\pm \frac{b}{a}x$，别把 $\frac{a}{b}$ 当成斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的离心率与渐近线（全国卷高频小题）。

结论推广：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，知道 $e$ 就得到渐近线斜率。

方法推广：“给出离心率求渐近线”固定用 $e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$ 一步到位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线