2007-新课标卷文-15 填-复数的周期性与等差系数求和

本题导读

本题考查虚数单位的周期性，以及复数的代数运算。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） $i$ 是虚数单位，$i+2i^2+3i^3+\cdots +8i^8=$ $\underline{}$．（用 $a+bi$ 的形式表示，$a$，$b\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

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把系数与 $i$ 的幂分开求和：实部来自偶次幂项 $2i^2=-2$、$4i^4=4$、$6i^6=-6$、$8i^8=8$；虚部来自奇次幂项 $i-3i+5i-7i$。

✅【答案】

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$4-4i$

✍【详细解析】

Abstract

$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，此后周期循环． 原式 $=(i-3i+5i-7i)+(-2+4-6+8)=(1-3+5-7)i+4=4-4i$． 故填 $4-4i$（$a=4$，$b=-4$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的周期性与等差系数求和

核心方法：$i^n$ 按 4 周期循环，实部虚部分组求和

避坑指南：奇次幂给虚部、偶次幂给实部；错定 $i^3=-i$ 或漏 $i^4=1$ 是常见失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数与数列求和的交汇题在新课标首年出现。

结论推广：$i+2i^2+\cdots +4n{i}^{4n}=n(2-i)$ 型结论可推广。

方法推广：按幂的余数分四组，系数为等差数列，分组求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-03 单-复数运算
• 2013-新课标I卷文-02 单-复数除法