2013-新课标I卷文-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数除法。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） $\frac{1+2\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i}{)}^2}=$()

A. $-1-\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　B. $-1+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　C. $1+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　D. $1-\frac{1}{2}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. $(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-2\mathrm{i}$。
2. $\frac{1+2\mathrm{i}}{-2\mathrm{i}}$：分子分母同乘 $\mathrm{i}$ 即可。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

$(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=-2\mathrm{i}$。 故 $\frac{1+2\mathrm{i}}{(1-\mathrm{i}{)}^2}=\frac{1+2\mathrm{i}}{-2\mathrm{i}}=\frac{(1+2\mathrm{i})\mathrm{i}}{-2\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}+2{\mathrm{i}}^2}{2}=\frac{-2+\mathrm{i}}{2}=-1+\frac{1}{2}\mathrm{i},$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算

核心方法：分母实数化（同乘共轭或 $\mathrm{i}$）

避坑指南：${\mathrm{i}}^2=-1$ 别丢负号：$(1-\mathrm{i}{)}^2=-2\mathrm{i}$ 而不是 $2\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的代数运算（全国卷必考小题）。

结论推广：$\frac{a+b\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}=b-a\mathrm{i}$。

方法推广：复数除法统一走”分母实数化”，一步一步算不出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-03 单-复数的模
• 2015-新课标I卷文-03 单-复数
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