2007-江苏卷-05 单-三角函数单调区间

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$（$x\in [-\pi ,0]$）的单调递增区间是 ()

A. $\left[-\pi ,-\frac{5\pi }{6}\right]$　　　　B. $\left[-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6}\right]$　　　　C. $\left[-\frac{\pi }{3},0\right]$　　　　D. $\left[-\frac{\pi }{6},0\right]$

🔍【思路分析】

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1. 求导：$f^{\prime }(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 也可用辅助角公式先化 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 再看增区间。
3. 在 $[-\pi ,0]$ 内找 $f^{\prime }(x)⩾0$ 的部分。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$． 当 $x\in [-\pi ,0]$ 时，只有在 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},0\right]$ 上有 $f^{\prime }(x)⩾0$，且在其内部 $f^{\prime }(x)>0$．因此函数在 $\left[-\frac{\pi }{6},0\right]$ 上单调递增，故选 D． （易错点：化成 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 后，增区间为 $x-\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$；在 $[-\pi ,0]$ 内只取到 $\left[-\frac{\pi }{6},0\right]$，别把整个周期区间照抄。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数单调区间

核心方法：辅助角公式化简后按区间取交

避坑指南：f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π/3)，增区间 x−π/3∈[−π/2+2kπ,π/2+2kπ]；在给定区间 [−π,0] 内只能取到 [−π/6,0]

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”辅助角公式与三角函数性质”

结论推广：a sinx+b cosx=√(a²+b²) sin(x+φ)，tanφ=b/a

方法推广：求”给定区间上的单调区间”最后一步必须与区间取交，不能只写通解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2010-上海卷文-19 解-对数与三角化简