2010-上海卷文-19 解-对数与三角化简

本题导读

考查对数与三角化简。三个真数依次为 $\sin x+\cos x$、$\sin x+\cos x$、$(\sin x+\cos x{)}^2$，原式 $=0$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 已知 $0<x<\frac{\pi }{2}$，化简： $\lg \left(\cos x\cdot \tan x+1-2{\sin }^2\frac{x}{2}\right)+\lg \left[\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]-\lg (1+\sin 2x).$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos x\tan x=\sin x$，$1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$，真数一 $=\sin x+\cos x$。
2. $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos x+\sin x$，真数二 $=\sin x+\cos x$。
3. $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$。
4. 原式 $=\lg (\sin x+\cos x)+\lg (\sin x+\cos x)-\lg (\sin x+\cos x{)}^2=0$。

✅【答案】

点击查看答案

$0$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<x<\frac{\pi }{2}$，$\sin x+\cos x>0$，各真数均为正。 $\cos x\cdot \tan x+1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\sin x+\cos x,$ $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\cos x+\sin x,$ $1+\sin 2x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x{)}^2.$ 所以 $\text{原式}=\lg (\sin x+\cos x)+\lg (\sin x+\cos x)-\lg (\sin x+\cos x{)}^2=0.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数运算与三角恒等变换

核心方法：三个真数分别化简，同底对数相加减

避坑指南：$\cos x\tan x=\sin x$ 与 $1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos x$ 是两个关键化简；真数必须为正，$0<x<\frac{\pi }{2}$ 保证了 $\sin x+\cos x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化简与对数法则的结合是上海卷解答题第一题的典型风格。

结论推广：$1+\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2$ 是高频恒等式。

方法推广：$\lg A+\lg B-\lg C=\lg \frac{AB}{C}$，先合并再求值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-12 填-对数运算性质
• 2009-湖南卷文-01 单-对数求值
• 2013-四川卷文-11 填-对数运算
• 2012-重庆卷文-07 单-对数的运算与比较