2007-江苏卷-16 填-秒针旋转建模

本题导读

本题考查三角函数的应用建模，以及弦长计算。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 某时钟的秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为 $5$ cm，秒针均匀地绕点 $O$ 旋转，当时间 $t=0$ 时，点 $A$ 与钟面上标 $12$ 的点 $B$ 重合，将 $A$，$B$ 两点的距离 $d$（cm）表示成 $t$（s）的函数，则 $d=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 秒针 60 秒转一周，转速 $\frac{2\pi }{60}$ rad/s，$t$ 秒转角 $\theta =\frac{\pi t}{30}$。
2. 等腰三角形 $AOB$ 中，弦长 $d=2R\sin \frac{\theta }{2}$（半角公式）。
3. 代入 $R=5$。

✅【答案】

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$d=10\sin \frac{\pi t}{60}$（$t⩾0$）

✍【详细解析】

Abstract

秒针每 $60$ 秒转一周，所以 $t$ 秒后半径 $OA$ 与 $OB$ 的夹角为 $\theta =\frac{2\pi }{60}t=\frac{\pi t}{30}.$ 在等腰三角形 $AOB$ 中，作弦 $AB$ 的垂线平分线，利用半角公式可得 $d=AB=2\cdot 5\sin \frac{\theta }{2}=10\sin \frac{\pi t}{60}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：秒针旋转建模

核心方法：转角θ=ωt，弦长=2R sin(θ/2)

避坑指南：60 秒一周 → ω=2π/60=π/30 rad/s；弦长公式 2R sin(θ/2) 中是半角，别写成全角 sinθ

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的应用（旋转模型）

结论推广：圆上两动点距离=2R|sin(Δθ/2)|

方法推广：旋转问题先求角速度 ω，再写转角 θ=ωt，最后落到弦长或坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2010-北京卷文-14 填-正方形滚动周期与面积
• 2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值
• 2010-上海卷文-20 解-圆柱灯笼建模与三视图