2010-上海卷文-20 解-圆柱灯笼建模与三视图

本题导读

考查圆柱建模。$S=-3\pi (r-0.4{)}^2+0.48\pi$，$r=0.4$ 时 $S_{\max }=0.48\pi \approx 1.51{\mathrm{m}}^2$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 $4$ 个全等的矩形骨架，总计耗用 $9.6$ 米铁丝，再用 $S$ 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径 $r$ 取何值时，$S$ 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 $0.01$ 平方米）；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 $0.3$ 米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个矩形骨架长 $l$ 米、宽 $2r$ 米，$4$ 个骨架周长之和 $=8(l+2r)=9.6$，$l=1.2-2r$。
2. $S=2\pi rl+\pi r^2=2\pi r(1.2-2r)+\pi r^2=-3\pi r^2+2.4\pi r$。
3. 配方：$S=-3\pi (r-0.4{)}^2+0.48\pi$，$r\in (0,0.6)$。
4. $r=0.4$ 时 $S_{\max }=0.48\pi \approx 1.51$。
5. $r=0.3$ 时 $l=0.6$：正视图、侧视图均为边长 $0.6$ 的正方形（矩形），俯视图为直径 $0.6$ 的圆。

✅【答案】

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(1) $r=0.4$ 米时 $S$ 最大，最大值 $0.48\pi \approx 1.51$ 平方米

(2) 正视图与侧视图均为边长 $0.6$ 的正方形，俯视图为直径 $0.6$ 的圆（作图略）

✍【详细解析】

Abstract

（1）设圆柱的母线（高）为 $l$ 米。 每个矩形骨架的两边长分别为 $l$ 与 $2r$，$4$ 个全等骨架耗用铁丝 $4\times 2(l+2r)=9.6\Rightarrow l+2r=1.2,l=1.2-2r(0<r<0.6).$ 塑料片面积（侧面 $+$ 下底面）： $S=2\pi rl+\pi r^2=2\pi r(1.2-2r)+\pi r^2=-3\pi r^2+2.4\pi r=-3\pi (r-0.4{)}^2+0.48\pi .$ 这是开口向下的二次函数，$r=0.4\in (0,0.6)$ 时取得最大值 $S_{\max }=0.48\pi \approx 1.51\text{平方米}.$ （2）$r=0.3$ 时 $l=1.2-2\times 0.3=0.6$。 该灯笼的三视图：正视图为边长 $0.6$ 的正方形，侧视图为边长 $0.6$ 的正方形，俯视图为直径 $0.6$ 的圆（作图略）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱的侧面积与函数建模

核心方法：由铁丝总长建立约束，面积配方求最值

避坑指南：每个骨架是长 $l$、宽 $2r$ 的矩形，$4$ 个骨架的周长和是 $8(l+2r)=9.6$ 不是 $4(l+2r)$；定义域 $0<r<0.6$，$r=0.4$ 在域内才可用顶点公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：实际背景建模是课标卷应用题的方向，本题把立体几何与二次函数结合。

结论推广：$S=-3\pi (r-0.4{)}^2+0.48\pi$，开口向下，顶点即最大值点。

方法推广：三视图作图口诀：长对正、高平齐、宽相等；圆柱俯视图是圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-05 填-圆柱的表面积
• 2011-四川卷文-15 填-内接圆柱侧面积最值
• 2009-广东卷文-17 解-标识墩三视图
• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积