2007-江西卷文-05 单-二项式系数和的赋值法

本题导读

本题考查二项式系数和的赋值法。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 设 $\left(x^2+1\right){\left(2x+1\right)}^9=a_0+a_1(x+2)+a_2(x+2{)}^2+\cdots +a_{11}(x+2{)}^{11}$，则 $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_{11}$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 系数和 = 右边在 $x+2=1$ 即 $x=-1$ 处的值。
2. 左边代 $x=-1$：$\left(1+1\right){\left(-2+1\right)}^9=2\times (-1)=-2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

记 $P(x)=\left(x^2+1\right){\left(2x+1\right)}^9$．展开式以 $x+2$ 的幂次表示，令 $x+2=1$ 即 $x=-1$，得 $a_0+a_1+\cdots +a_{11}=P(-1)=\left((-1{)}^2+1\right){\left(-2+1\right)}^9=2\cdot (-1)=-2.$ 故选 A． （易错点：看清展开基是 $x+2$ 而非 $x$，故赋值 $x=-1$ 而非 $x=1$．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数和的赋值法

核心方法：令 $x+2=1$ 即 $x=-1$ 代入得系数和

避坑指南：赋值法求系数和要整体看待 $x+2$ 的幂；本题令 $x+2=1$ 而非 $x=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：赋值法求二项展开式系数和，与”令 $x=1$“型同源

结论推广：$f(x)=\sum a_k(x+2{)}^k$ 时 $\sum a_k=f(-1)$（令 $x+2=1$）

方法推广：系数和题认准展开的中心 $x+2$，令中心为 $1$

🔗【关联脉络】

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• 2008-北京卷文-12 填-二项式常数项与系数和
• 2007-安徽卷文-12 填-二项式奇偶系数和
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