2007-安徽卷文-12 填-二项式奇偶系数和

本题导读

本题考查二项式定理，以及系数和的赋值法。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 已知 $(1-x{)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$，则 $\left(a_0+a_2+a_4\right)\left(a_1+a_3+a_5\right)$ 的值等于 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 记 $f(x)=(1-x{)}^5$。$f(1)=0$，$f(-1)=2^5=32$。
2. 偶次系数和 $a_0+a_2+a_4=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=16$。
3. 奇次系数和 $a_1+a_3+a_5=\frac{f(1)-f(-1)}{2}=-16$。
4. 乘积 $16\times (-16)=-256$。

✅【答案】

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$-256$

✍【详细解析】

Abstract

令 $f(x)=(1-x{)}^5$，则 $f(1)=0$，$f(-1)=2^5=32$． 由 $f(1)=a_0+a_1+\cdots +a_5$，$f(-1)=a_0-a_1+a_2-\cdots -a_5$，得 $a_0+a_2+a_4=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=\frac{32}{2}=16,$ $a_1+a_3+a_5=\frac{f(1)-f(-1)}{2}=-16.$ 所以 $\left(a_0+a_2+a_4\right)\left(a_1+a_3+a_5\right)=16\times (-16)=-256$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式奇偶系数和

核心方法：$f(1)$、$f(-1)$ 联立拆奇偶次系数和

避坑指南：偶次和 $=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$、奇次和 $=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$；$(1-x{)}^5$ 的 $f(-1)=2^5$ 别漏负负得正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数和的赋值法（$x=1$、$x=-1$）是标准工具

结论推广：奇偶次系数和的拆分公式对任意多项式成立

方法推广：升级：$f(2)$、$f^{\prime }(1)$ 等更一般的赋值组合

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