2007-江西卷文-10 单-导数单调性与充要条件

本题导读

本题考查导数与单调性，以及充分必要条件。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 设 $p$：$f(x)=x^3+2x^2+mx+1$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内单调递增，$q$：$m⩾\frac{4}{3}$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=3x^2+4x+m$。
2. 在 $\mathbf{R}$ 上递增 $\iff f^{\prime }⩾0$ 恒成立（三次函数拐点情形）。
3. 配方得最小值 $m-\frac{4}{3}$，非负即 $m⩾\frac{4}{3}$。
4. 与 $q$ 完全等价。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2+4x+m=3{\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+m-\frac{4}{3}$． $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增 $\iff f^{\prime }(x)⩾0$ 对一切 $x$ 成立 $\iff m-\frac{4}{3}⩾0$，即 $m⩾\frac{4}{3}$． 故 $p$ 与 $q$ 等价，$p$ 是 $q$ 的充分必要条件，选 C． （注意：$f^{\prime }⩾0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立（允许有限个驻点）与”严格单调递增”的常用判别一致；三次多项式单调递增的充要条件正是导数非负恒成立．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数单调性与充要条件

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2+4x+m⩾0$ 恒成立 $\iff m⩾\frac{4}{3}$ 与 $q$ 等价

避坑指南：二次函数 $f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立用判别式或配完全平方；$p$ 与 $q$ 等价是充要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与单调性的充要条件，函数与逻辑综合

结论推广：三次函数单调递增 $\iff f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立且不恒为 0

方法推广：充要条件题把 $p,q$ 都化为参数范围再比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要
• 2007-福建卷文-04 单-充分必要条件
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立