2007-江西卷理-06 单-含有约束条件离散点计数

本题导读

本题考查集合中满足特定不等式组约束的点集计数问题。由于坐标 $(x,y)$ 均属于有限点集 $M$， 核心方法是利用穷举法逐一筛选出合法的数对元素。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 若集合 $M=\{0,1,2\}$， $N=\{(x,y)\mid x-2y+1\ge 0\text{ 且 }x-2y-1\le 0,x,y\in M\}$，则 $N$ 中元素的个数为()

A. 9　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清集合定义：集合 $M$ 包含 3 个元素， 故所有可能的数对 $(x,y)$ 共有 $3\times 3=9$ 种。

2. 转化不等式约束：将条件变形为 $-1\le x-2y\le 1$。

3. 分情况下列举：根据 $y$ 的取值（0, 1, 2）分别代入， 检验 $x\in \{0,1,2\}$ 是否能让代数式满足该范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据集合 $N$ 的定义， 元素是满足 $-1\le x-2y\le 1$ 的有序数对 $(x,y)$， 且 $x,y$ 只能从 $\{0,1,2\}$ 中选取。 我们可以对 $y$ 采用分步穷举法进行筛选：

1. 当 $y=0$ 时： 不等式组变为 $-1\le x-2\times 0\le 1⟹-1\le x\le 1$。 从 $M=\{0,1,2\}$ 中筛选出满足要求的整数 $x$ 为： $x=0$ 或 $x=1$。 此时得到 2 个合法的元素： $(0,0),(1,0)$。

2. 当 $y=1$ 时： 不等式组变为 $-1\le x-2\times 1\le 1⟹-1\le x-2\le 1⟹1\le x\le 3$。 从 $M=\{0,1,2\}$ 中筛选出满足要求的整数 $x$ 为： $x=1$ 或 $x=2$。 此时得到 2 个合法的元素： $(1,1),(2,1)$。

3. 当 $y=2$ 时： 不等式组变为 $-1\le x-2\times 2\le 1⟹-1\le x-4\le 1⟹3\le x\le 5$。 从 $M=\{0,1,2\}$ 中没有任何一个整数 $x$ 能落在区间 $[3,5]$ 内。 此时合法元素个数为 0。

综合上述三种情况， 满足集合 $N$ 要求的全部元素有： $(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)$ 共计 4 个不同的点元素。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点集符号的识读、二元不等式约束。
2. 核心方法：有限离散集分类穷举法。
3. 避坑指南：

• 细心计算每一项：在计算 $y=1$ 时， 注意不要把 $x=0$ 算漏或者误把不属于 $M$ 的 $x=3$ 算作集合元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的定义与元素特征、简单二元一次不等式组是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合的定义与元素特征、简单二元一次不等式组的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用逐个列举验证法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-05 单-线性规划
• 2008-山东卷理-12 单-线性规划
• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域