2008-山东卷理-12 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与初等函数图象的交汇问题。核心意图是首先利用二元一次不等式组在坐标平面内精确定位可行域三角形，再利用指数函数图象随底数变化整体平移旋转的代数单调性，通过临界边界点锁定参数 $a$ 的合法区间。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 设二元一次不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2y-19\ge 0\\ x-y+8\ge 0\\ 2x+y-14\le 0\end{array}$ 所表示的平面区域为 $M$，使函数 $y=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) 的图象过区域 $M$ 的 $a$ 的取值范围是 ()

A. $[1,3]$　　　　B. $[2,\sqrt{10}]$　　　　C. $[2,9]$　　　　D. $[\sqrt{10},9]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解不等式组中两两方程联立后的交点，确定平面凸区域 $M$ 的三个顶点坐标。
2. 分析函数 $y=a^x$ 在该区域内的代数特征（自变量均大于 0，因变量均大于 0，说明底数 $a>1$）。
3. 采用动态边界控制，将三个顶点坐标分别代入 $y=a^x$ 中解出临界底数，通过其单调 sweeps 过程确定参数范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

首先解方程组求出区域 $M$ 的三个顶点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+2y-19=0\\ x-y+8=0\end{array}⟹A(1,9)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x-y+8=0\\ 2x+y-14=0\end{array}⟹B(2,10)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+2y-19=0\\ 2x+y-14=0\end{array}⟹C(3,8)$。 平面区域 $M$ 即为以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域（含边界）。

要使函数 $y=a^x$ 的图象过该三角形区域，只需底数 $a$ 在动态变换时，曲线既不完全凌驾于区域上方，也不完全瘫塌在区域下方。 由于区域内的点对应的 $x>0$，因此当 $a>1$ 时，对于固定的 $x$，底数 $a$ 越大曲线抬得越高。 我们将三个顶点分别代入函数中寻找临界底数：

• 当图象恰好经过点 $A(1,9)$ 时： $9=a^1⟹a=9$；
• 当图象恰好经过点 $B(2,10)$ 时： $10=a^2⟹a=\sqrt{10}$；
• 当图象恰好经过点 $C(3,8)$ 时： $8=a^3⟹a=2$。 由指数函数的空间图象连续性可知，当 $a=2$ 时曲线扫过区域的下边缘点 $C$；当 $a=9$ 时曲线扫过区域的上边缘点 $A$。 因此，要使图象与该三角形区域有公共点，底数 $a$ 必须处于最小临界值与最大临界值之间，即 $a\in [2,9]$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组所表示的几何区域，指数函数中底数对图象弯曲陡峭程度的控制性质。
2. 核心方法：数形结合法、顶点临界分析法。
3. 避坑指南：计算出三个交点后，部分学生容易盲目认为中间那个值 $\sqrt{10}$ 是边界，从而误选 B 或 D。必须明确，图象是否穿过区域是由该函数在定义域上的最大包络线和最小包络线决定的，应该取三个临界值中的绝对最大值(9)和绝对最小值(2)作为最终的闭区间边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是传统线性规划可行域与非线性曲线包络问题的经典跨章节组合，考查动态图形交点的边界控制。
2. 结论推广: 设区域的顶点集合为 $V$，若一连续单调含参函数 $y=f(x,\lambda )$ 穿过该闭区域，则参数 $\lambda$ 的范围必被包含在集 $\{\lambda \mid y_v=f(x_v,\lambda ),v\in V\}$ 的极值闭区间内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性