本题导读
本题考查几种典型旋转体体积随高度变化的规律。核心在于理解“饮去杯中酒的一半”即意味着各杯中剩余酒的体积恰好为各自满杯总体积的 ，通过分析不同几何体纵向截面积的变化趋势来判定高度的大小关系。
📌【题干】
Question
（2007年江西卷(理)） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为 ，则它们的大小关系正确的是()
A. B.
C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 基本约束识别：四个酒杯的总高度相等（记为 ），杯口半径相等（记为 ）。当各自饮去一半时，杯中剩余酒的体积均为原满杯体积的 。
- 定量计算特殊几何体：
- 第四个杯子（圆柱）：体积沿高度均匀分布。体积为一半时，高度显然也为一半，即 。
- 第二个杯子（圆锥）：由于圆锥的体积与其高度的立方成正比，当体积变为原来的 时，有 。
- 定性分析其他几何体（上粗下细与上细下粗）：
- 第一个杯子（半球形/圆弧形）：上部比圆柱细，下部比圆柱粗，整体形态界于圆锥和圆柱之间，高度满足 。
- 第三个杯子（圆台）：上粗下细，其下半部分由于截面变小，存储相同体积需要更高的水头，故其体积分布更集中在上方，剩余一半体积时高度满足 。
对比选项，找准核心大小链条。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
解：设四个酒杯的内空总高度均为 ，杯口半径均为 。 由于四人均饮去杯中酒的一半，所以各杯中剩余酒的体积恰好占原总体积的 。
我们通过定量计算与定性对比来确定各剩余高度：
对于第 4 个杯子（圆柱）： 圆柱的横截面积自底向上恒定不变，其体积与高度成严格的正比例关系。 当体积为总体积的 时，对应的高度也必为总高度的 ：
对于第 2 个杯子（圆锥）： 设剩余酒的高度为 ，此时液面半径为 。由相似三角形性质可知 。 圆锥满杯总体积为 ，剩余酒的体积为 。 两体积之比满足相似比的立方： 显然有： 。
对于第 1 个杯子（半球形）与第 3 个杯子（圆台）： 观察图形的几何轮廓特征（上粗下细型）： 第 1 形状（球形杯）和第 3 形状（圆台杯）均属于“上宽下窄”的旋转体。这意味着它们的体积在上半部分分布得比下半部分更多。 因此，如果要盛装总体积一半的酒，液面高度必须要超过总高度的一半，即：
接下来对比第 1 个杯子与第 2 个杯子（圆锥）： 圆锥是四个杯子中“上宽下窄”趋势最剧烈、底部最尖锐的几何体。其下半部体积占总体积的比例最小，因而为了达到一半的体积，液面必须回升得最高。 半球形杯的侧壁在中下部比圆锥丰满得多（即在相同高度下，半球形的横截面积大于圆锥），因而它不需要像圆锥那样高的液面就能装满一半的体积。 由此可以定性得出：
结合以上推导，可总结出一条明确的大小链条：
比对给出的选项，(A) 选项与该链条完全相符。
故选：A。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：旋转体的体积变化率、体积与高度的非线性函数特征。
- 核心方法：典型几何体精确计算法、截面饱满度定性比对法。
- 避坑指南：
很多同学容易凭直觉误认为四个杯子高矮胖瘦各异，无法直接判定。解题的突破口是圆柱（第4个）和圆锥（第2个）。这两个杯子由于公式简单，可以秒算出精确的系数值（ 与 ），从而确立了最高和最低的参照物。其余两个“上粗下细”的杯子必然介于二者之间，通过排除法可快速锁定正确答案。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题的高等数学背景为定积分应用中的旋转体体积函数以及微积分学中的变化率。液面上升速度 与当前截面积 成反比。
结论推广：对于任何开口向上的旋转体，若其横截面积 是关于高度 的单调递增函数（即上粗下细），则其体积函数 是一个下凸函数，使得中点体积所对应的高度恒大于 ；且容器壁的导数越大（底部越尖），该半体积高度就越逼近 。
🔗【关联脉络】
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