2007-江西卷理-14 填-等差数列判定通项公式

本题导读

本题考查满足加法型函数方程的抽象数列求解。核心在于利用递推链条 $a_p+a_q=a_{p+q}$ 归纳出该数列本质上是一个首项为 $a_1$、公差同样为 $a_1$ 的正比例型等差数列。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 对于任意 $p,q\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，有 $a_p+a_q=a_{p+q}$，若 $a_1=\frac{1}{9}$，则 $a_{36}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找递推递加规律：

• 令 $p=1$， 则有 $a_1+a_q=a_{1+q}$。
• 这表明数列相邻两项的差值恒定： $a_{q+1}-a_q=a_1=\frac{1}{9}$。

2. 等差数列确立：

• 依据等差数列的定义， 如果相邻两项的差为恒定常数， 则该数列必为等差数列。
• 该数列的首项为 $a_1=\frac{1}{9}$， 公差 $d=a_1=\frac{1}{9}$。

3. 求解目标项通项：

• 直接写出通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d=n\cdot a_1$。

• 将 $n=36$ 代入计算。

点击查看答案

4

✍【详细解析】

Abstract

解：因为对于任意的正整数 $p,q\in {\mathbf{N}}^{\ast }$， 均满足抽象递推式： $a_p+a_q=a_{p+q}$

我们在该等式中令参数 $p=1$， 此时等式化为关于自变量 $q$ 的一阶相邻递推关系： $a_1+a_q=a_{q+1}⟹a_{q+1}-a_q=a_1$

根据等差数列的代数统一定义， 任意相邻两项的差值 $a_{q+1}-a_q$ 恒等于固定常数 $a_1$， 所以， 数列 $\{a_n\}$ 是一个严格的等差数列， 且其公差 $d$ 就等于首项值： $d=a_1=\frac{1}{9}$

写出该等差数列的通项公式标准形式： $a_n=a_1+(n-1)d=a_1+(n-1)a_1=n\cdot a_1$

现在要求计算数列的第 36 项 $a_{36}$， 将 $n=36$ 及 $a_1=\frac{1}{9}$ 代入上述通项式中： $a_{36}=36\times a_1=36\times \frac{1}{9}=4$

故答案为：4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象加法型递推数列（柯西方程数列化）、等差数列的构造与通项。
2. 核心方法：特值代入法、一阶作差判定法。
3. 避坑指南：

• 遇到抽象方程不要慌张，最核心的策略就是往里面代入 $1$。令其中一个变量为 $1$， 抽象的加法关系就会立刻具象化为标准的相邻项等差关系， 规律自现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象数列与柯西型函数方程、等差数列的判定与通项公式是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是抽象数列与柯西型函数方程、等差数列的判定与通项公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用归纳递推法、待定系数法（取特值法），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2008-辽宁卷理-15 填-二项式定理
• 2013-上海卷理-10 填-等差数列性质