2008-辽宁卷理-15 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式的多项式乘法应用。核心意图是利用通项公式表示出复杂组合式中的任意项次数，通过“展开式中没有常数项”这一反向条件，建立关于 $n$ 的整除关系方程，从而限定并筛选出符合题意的未知量。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 已知 $\left(1+x+x^2\right){\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ 的展开式中没有常数项，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $2\le n\le 8$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出后半部分二项式 ${\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ 的通用项表达式 $T_{r+1}$，并合并 $x$ 的指数。
2. 将前面的多项式 $\left(1+x+x^2\right)$ 逐项与通项相乘，分别分析要产生常数项时 $n$ 与 $r$ 需满足的三个代数等式。
3. 根据“没有常数项”的条件说明这三个等式在给定范围内全无整数解，从而通过排除法或模运算余数确定 $n$ 的值。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r\cdot x^{n-r}\cdot {\left(x^{-3}\right)}^r={\mathrm{C}}_n^r\cdot x^{n-4r}(0\le r\le n,r\in \mathbf{Z})$ 原式展开式是由 $\left(1+x+x^2\right)$ 的各项分别乘以 $T_{r+1}$ 组成的，若要产生常数项，可能的情况有以下三种： ① 前项出 $1$：此时要求 $n-4r=0⟹n=4r$； ② 前项出 $x$：此时要求 $x\cdot x^{n-4r}=x^0⟹n-4r+1=0⟹n=4r-1$； ③ 前项出 $x^2$：此时要求 $x^2\cdot x^{n-4r}=x^0⟹n-4r+2=0⟹n=4r-2$。

题目说明“没有常数项”，意味着对任意整数 $r$，以上三个方程均无整数解。 由代数特征可知，当 $n$ 为 $4$ 的倍数（$4r$）、比 $4$ 的倍数少 $1$（$4r-1$）或少 $2$（$4r-2$）时，都会产生常数项。 因此，若要不产生常数项，$n$ 只能是比 $4$ 的倍数多 $1$ 的数，即 $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$。 已知 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $2\le n\le 8$， 在此范围内的整数有 $2,3,4,5,6,7,8$。 其中只有 $n=5$ 满足 $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$（此时 $n=5$ 代入三个方程得到的 $r$ 分别为 $\frac{5}{4},\frac{6}{4},\frac{7}{4}$，均非整数）。 所以 $n=5$。

答案：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项中指数的化简，多项式乘法的项数配对，数论中余数的分类。
2. 核心方法：特征分析法、排除法。
3. 避坑指南：容易把“没有常数项”错看成“有常数项”而导致列式方向颠倒；在列出关于 $n$ 的表达式后，要特别注意 $r$ 的取值范围约束（$0\le r\le n$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材二项式定理应用中对指定项系数求解的逆向思维变式题，增加了多项式因子的干扰，考查逻辑除法。
2. 结论推广: 表达式 $\left({\sum }_{i=0}^k{x}^i\right){\left(x^a+x^{-b}\right)}^n$ 展开式中不含常数项的充要条件是：对任意 $i\in [0,k]$，方程 $an-(a+b)r+i=0$ 在 $r\in [0,n]\cap \mathbf{Z}$ 上均无解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2009-四川卷理-13 填-二项式定理